任意四边形对边中点距离之积等于它的面积吗

这个问题，我国著名的数学家华罗庚曾经讨论过。我们知道，对于正方形或长方形，可以用对边中点距离之积作为它的面积。但对于一般的不规则四边形，这样计算是否正确呢？

设不规则四边形ABCD，两对边的中点连线EG和FH交于P，那么P点必是EG和FW的中点。对此，我们可以设想有四个重量各为10牛顿的小球分别放在A、B、C、D四个位置上。由于A、B两小球重力的合力，作用在E点上，大小是20牛顿；C、D两小球重力的合力，作用在G点上，大小也是20牛顿，所以四小球重力的合力一定作用在EG连线的中点上，大小是40牛顿。同理，四小球重力的合力也一定作用在FH的中点上，大小是40牛顿。这就说明了EC的中点和FH的中点都是四球所受重力的合力的作用点，是同一点，因而P点是EG和FH的中点。

再设想用一把剪刀沿EG、FH把四边形剪开成4块，并以H、G、F为铰链，将四块图形向外翻转，使AH和DH重合，DG和CG重合，CF和BF重合。由于四边形四内角之和为360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°。此时，第Ⅰ块的AE边恰与第Ⅱ块的BE边相重合。容易知道，经重新拼成的图形是一个平行四边形，其两组对边的长分别等于EG和FH，其四内角分别等于EG和FH间的交角。这个平行四边形的面积与原来的四边形的面积是相等的，所以

S=EG×HF×sin∠HPG≤EG×HF。

上式等号当且仅当sin∠HPG=1，也就是EG⊥FH时成立。

因此，一般情况下，用对边中点距离之积算出的面积要比实际的四边形的面积大。

关键词：四边形 面积