曲线一定画得出吗V5

夏天的晚上，我们常常可以看到天空中的流星，流星走过的轨迹是一条曲线。你拿着点燃的蚊香移动，那火星和流星一样也会“画”出曲线来。数学上用描点法画曲线，就是根据这一思想进行的。圆、抛物线、双曲线、正弦曲线等等，都可以用“描点法”把它们画出来。

那么，是不是所有的平面曲线都能用描点法画出来呢？甚至进一步设问，是否所有的平面曲线一定画得出来呢？

这就涉及到了平面曲线的定义。事实上，在1893年法国数学家约当给出曲线明确的解析定义之前，数学上还从未真正定义过曲线。曲线只是作为几何学中自明的原始概念被一直在使用着。在这种原始概念下，曲线就是指画得出来的那种被认为只有长度而无宽度的东西，而画出来的自然也就是曲线。

曲线的概念被明确定义以后，随着数学的发展，特别是微分几何和拓扑学的发展，曲线的概念被一次又一次地扩张，画得出画不出就不能作为曲线的判别标准了。数学家们也确实想出了不少画不出的曲线，例如波兰数学家谢尔品斯基所给出的被称为“谢尔品斯基地毯”的平面曲线。他是这样构造的：

将正方形A分成9个相等的正方形，并且挖去其中心正方形的内部（图1）。再把剩下的8个包含边界的正方形（我们称它们为一级正方形），每一个分为9个相等的正方形，并且挖去它们中心正方形的内部（图2），于是得到8²=64个包含边界的正方形（我们称它们为二级正方形）。再对每一个二级正方形按同样方法处理，得8³=512个包含边界的正方形（我们称它们为三级正方形）（图3）。将这个过程无限地进行下去，正方形A剩下的点的集合C就是谢尔品斯基地毯，它符合平面曲线的定义。这种奇特的平面曲线和通常的平面曲线不同，不能用描点法把它画出来。它在曲线概念研究过程中起过重要作用。

关键词：曲线 谢尔品斯基地毯