三角形的内角和总等于180°吗

看到这个题目，你一定会想，为什么会提出这样一个问题呢？“三角形内角之和等于180°”不是一条已经被证明了的定理吗？难道还会有不同的结论？

事实上，早在100多年前，就有人设想并研究了这个问题，并且得出了两个截然相反的结论：“三角形内角之和大于180°”和“三角形内角之和小于180°”。

那么，这三个彼此矛盾的命题怎么可能同时为真呢？这究竟是怎么一回事呢？

我们知道，数学中的证明是从一些公认成立而不再要求证明的公理或公设出发，通过演绎推理，来推导出所有其他的定理。例如，用来推出中学平面几何中定理的公理和公设各有5条，它们分别是：

公理1：与同一个量相等的两个量相等；

公理2：等量加等量，其和相等；

公理3：等量减等量，其差相等；

公理4：彼此重合的图形全等；

公理5：全部大于它的部分。

公设1：从任意一点到另一点可以引直线；

公设2：直线可以无限地延长；

公设3：以任意一点为圆心，可以用任意长度的线段作半径画圆；

公设4：所有的直角都相等；

公设5：如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。

上面的公理和公设，除了公设5外，反映的都是有限范围内的情况，可以用实验来加以验证。但是公设5却由于涉及到无限大的范围，对它的真实性无法用实验来验证，因而从公元4世纪起，就多次被怀疑。数学家们试图用其他几条公理和公设去证明它，经过1000多年的努力，虽然没有成功，却发现了许多有趣的事实。一是，公设5与“三角形内角之和等于180°”这个命题是等价的，也就是说它们之间可以相互推得。二是，如果公设5被否定，用一个与之对立的命题，例如“三角形内角之和大于180°”或者“三角形内角之和小于180°”来代替，那么，由这条公设和其他的公理和公设所推导出的所有命题，都被证明是正确的。也就是说，人们完全可以组建成另一种几何学，虽然与人们的经验不一致，但它们也是经过证明的“真理”。

数学上把确认三角形内角之和等于180°的几何叫做“欧几里得几何”，简称“欧氏几何”，而把确认三角形内角之和大于或小于180°的几何叫做“非欧几何”。19世纪，非欧几何分别由俄国的罗巴切夫斯基和德国的黎曼创立，前者称为罗氏几何，后者称为黎曼几何。20世纪初，非欧几何开始应用于力学和物理学。1915年，爱因斯坦将非欧几何应用于他的广义相对论上，不仅进一步加深了人们对非欧几何的认识，而且也推动了它的发展。

关键词：公理 公设 欧氏几何 非欧几何