怎样画五角星V5

五角星是大家非常熟悉的一种图形，但是你能精确地绘制一个五角星吗？

下面我们来介绍一种精确的绘制方法。

1.作一个圆，设它的圆心为O；

2.作圆的两条互相垂直的直径AZ和ZY；

3.作OY的中点M；

4.以M为圆心，MA为半径，作圆弧和半径OX交于N。

5.以A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN。

6.连接AD，AC，EB，EC，BD，五角星就画成了。

再来证明一下这个方法的精确性。设圆的半径为R，由上述五角星的作法可知

AN²=AO²=ON²=AO²+(AM-OM)²

所以

$AN = \sqrt {{R^2} + {{(\frac{{\sqrt 5 }}{2}R - \frac{1}{2}R)}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {10 - 2\sqrt 5 R} $

如果我们作的五角星精确的话，连接它的五个顶点，得到的应该是圆的内接正五边形。也就是说，上面的AN的长度应该等于半径为R的圆的内接正五边形的边长。

在中学课本中，我们已经知道圆内接正十边形的边长

下面我们来算一下圆内接正五边形的边长。设DZ=ZC=a₁₀。是半径为R的圆内接正十边形的两边，则DC=a₅是圆内接正五边形的一边。

于是，等腰三角形ODZ的面积

$S{\vartriangle _{ODZ}} = \frac{1}{8}\sqrt {10 - 2\sqrt 5 {R^2}} $, 又，$S{\vartriangle _{ODZ}} = \frac{1}{2}DH$·$OZ$

$DH=2S{\vartriangle _{ODZ}}{\text{ \div }}R = \frac{1}{4}\sqrt {10 - 2\sqrt 5 R} $ 。

所以，${a_5} = 2DH = \frac{1}{2}\sqrt {10 - 2\sqrt 5 R} $

显然AN=a₅，所以我们上面的五角星的绘制方法是绝对精确的。

并不是所有的圆内接正多边形都能用圆规和直尺作图。正三角形、正五边形、正十五边形，以及由它们直接得出的那些边数为2ⁿ、2ⁿ×3、2ⁿ×5、2ⁿ×l5（n是正整数）的正多边形的几何作图，早在2000多年前的欧几里得时代就已经知道了。而此后一直没有突破，直到18世纪，高斯才首先作出了正十七边形，并且断言:一个正n边形，当且仅当n=2^mP₁P₂…P_v时，才可用圆规和直尺作图。这里P₁，P₂，…，P_v分别是形为2^2k+1的不同质数，而m是任意的正整数或0。这一断言的充分和必要性也分别为高斯本人和另一个数学家所证明。

关键词：五角形 圆内接正多边形