镶嵌图有多少种V5

在日常生活中，不知你有没有注意到，许多图案都是由各种图形拼合而成的。这就是“镶嵌图”。图形的镶嵌可不是一件简单的事。

壤嵌图要求每一个交叉点周围各角的和都为360°，这样才能铺满整个平面而无空隙。如果全部使用正多边形的话，究竟有多少种镶嵌情况呢？

先来看交叉点周围的正多边形的个数。由于正多边形的内角最小是60°，最大不超过180°，因此，只能有3、4、5、6这四种可能。

先来看看3个的情况。设这3个正多边形的边数分别为x、y、z，内角则分别为：

$\frac{{(x - 2){{180}^ \circ }}}{x} 、 \frac{{(y - 2){{180}^ \circ }}}{y} 、 \frac{{(z - 2){{180}^ \circ }}}{z}$ 。

要使它们镶嵌在一起，必须

$\frac{{(x - 2){{180}^ \circ }}}{x} + \frac{{(y - 2){{180}^ \circ }}}{y} + \frac{{(z - 2){{180}^ \circ }}}{z} = {360^ \circ }$。

于是有

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$。

不考虑x、y、z的顺序，这个方程共有10组正整数解：（3，7，42）、（3，8，24）、（3，9，18）、（3，10，15）、（3，12，12）、（4，5，20）、（4，6，12）、（4，8，8）、（5，5，10）、（6，6，6）。

同理可知，4个有4组解：（3，3，4，12）、（3，3，6，6）、（3，4，4，6）和（4，4，4，4）；5个有2组解：（3，3，3，3，6）和（3，3，3，4，4）；6个只有1组解（3，3，3，3，3，3）。

因此，对某一交叉点来说，它周围正多边形边数的配置情况共有17种。那么，是不是这17种情况都能拼成镶嵌图呢？事实上，只有由正三、四、六、八、十二边形组成的那11种情况，才可以镶嵌整个平面。其它6种无论如何是拼不出的。

那么，这11种情况能拼成多少种图形呢？我们分四种类型来讨论：

1.正镶嵌图：即用同一种正多边形拼成，如图1～3。只有3种：（6，6，6）、（4，4，4，4）和（3，3，3，3，3，3）。

2.半正镶嵌图：用的不是同一种正多边形，但每一交叉点周围的正多边形的种类、个数与顺序都相同，如图4～9。共有6种：（3，12，12）、（4，8，8）、（3，3，6，6）、（3，4，4，6）、（3，3，3，3，6）和（3，3，3，4，4）。

3.均匀镶嵌图：每一交叉点周围的正多边形的种类、个数都相同，只是顺序不同，如图10～13。这种镶嵌图尽管在交叉点周围正多边形的组合顺序有限，但交叉点之间相互位置的变化是无穷的，例如，将图11中间一行向右移一格，便成另一种图形；而每隔1、2、3、…行，向右平移一格，便可得到无穷多个图形。因此这种镶嵌图有无穷多种。

4.非均匀镶嵌图：各交叉点周围正多边形的种类不全相同，个数也不全相同，如图14～21。它们也有无穷多种。

除上述镶嵌图外，用三角形、四边形等非正多边形，或某些曲形图形，如图22、23，还可以构思出各种各样精巧的镶嵌图。

关键词：镶嵌图 正多边形