为什么四个连续自然数的积再加1，一定是个完全平方数

随便你挑选哪四个连续的自然数，把它们乘起来，然后再加1，不问其结果是什么，但是可以断定，那个数一定是个完全平方数。

可不是吗?你瞧：

1·2·3·4+1=25（=5²），

2·3·4·5+1=121（=11²），

3·4·5·6+1=361（=19²），

4·5·6·7+1=841（=29²），

……

越往后，计算越麻烦了，但是不管怎样，我们可以断定，算出来的结果一定也是个完全平方数。

为什么会有这样的结果呢？

在四个相邻自然数中，设最小的一个是a，那么，我们就来研究下面的数究竟是不是一个完全平方数：

a(a+l)(a+2)(a+3)+1。

我们知道

a(a+l)(a+2)(a+3)+1

=a(a+3)(a+l)(a+2)+1

=（a²+3a)（a²+3a+2)+1

=(a²+3a)²+2(a²+3a)+1

=(a²+3a+l)²。

好了，a是一个自然数，（a²+3a+1）²不就是个自然数的完全平方么？

通过上面的演算，不仅知道a（a+1）（a+2）（a+3）+1是个完全平方数，而且也可以很快地算出它到底是什么数的平方来。

比方：10•11•12•13+1=?

这里，最小的一个数a=10，于是

a²+3a+l=131，

∴10•11•12•13+1=131²。

你也可以算算：15•16•17•18+1=?

根据同样的道理，我们也可以知道四个连续偶数（或奇数）相乘，再加16，也是一个完全平方数。

关键词：完全平方数