为什么四个连续数相乘再加1，就是一个完全平方数

随便你挑选哪四个连续的自然数，把它们乘起来，然后再加1，不问其结果是什么，但是可以断定，那个数一定是个完全平方数。

可不是吗？你瞧：

1·2·3·4+1=25(=5²)

2·3·4·5+1=121(=11²)

3·4·5·6+1=361(=19²)

4·5·6·7+1=841(=29²)，

…………

越往后，计算越麻烦了，但是不管怎样，我们可以断定，算出来的结果一定也是个完全平方数。

为什么会有这样的结果呢？

四个相邻自然数中，设最小的一个是a，那么，我们就来研究下面的数究竟是不是一个完全平方数：

a(a+1)(a+2)(a+3)+1。

我们知道

a(a+1)(a+2)(a+3)+1

=a(a+3)(a+2)(a+1)+1

=(a²+3a)(a²+3a+2)+1

=(a²+3a)²+2(a²+3a)+1

=(a²+3a+1)²

好了，a是一个自然数，(a²+3a+1)²不就是个自然数的完全平方么？

通过上面的演算，不仅知道a(a+1)(a+2)(a+3)+1是个平方数，而且也可以很快地算出它到底是什么数的平方来。

比方： 10·11·12·13十1=？

这里，最小的一个数a=10，于是

a²+3a+1=131，

∴ 10·11·12·13+1=131²。

你也可以算算：15·16·17·18+1=？

根据同样的道理，我们也可以知道四个连续偶数（或奇数)相乘，再加16，也是一个完全平方数。

你试试看。