虚数虚吗

我们先来说说虚数的来历。16世纪，正当欧洲数学家对于负数该不该算作数有争议的时候，又有一种新数被卷进了争议的旋涡，这就是负数的平方根。

负数有平方根吗？你见过哪一个数的平方根是负数吗？那么又怎么有一个数可以作为负数的平方根呢？但随着数学的发展，数学家们发现某些三次方程的实数根，还非得用负数的平方根表示不可。而且，如果承认了负数的平方根，那么代数方程的有根、无根问题就可以得到解决，并且会得出“n次方程有n个根”这样一个圆满而诱人的结果。此外，对负数的平方根，如果按数的运算法则进行运算，结果也是正确的。

1545年，意大利数学家卡尔丹首先作出一个折中表示，他称负数的平方根为“虚构的数”。意思是，可以承认它为数，但它是“虚构的”，不像实数那样可以表示实际存在的量。到1632年，法国数学家笛卡尔正式给了负数的平方根一个大家愿意接受的名字——“虚数”。

1768年，瑞士数学家欧拉再次对虚数作了解释：“由于虚数既不比零大，也不比零小，又不等于零，因此它不包括于实际存在的数之中，它只存在于想象之中。”这既代表了18世纪数学家对负数的平方根即虚数的认识和态度，也反映了虚数这一名字中“虚”字的含义。

尽管虚数中有一个“虚”的字眼，但数学家们却没有放松对它的研究。在18～19世纪里，数学家们发现了关于虚数的许许多多的性质和应用。特别是1777年，欧拉提出了“虚数单位”的概念，他把$\sqrt { - 1} $作为虚数单位，用符号i表示，这是因为虚数的英文imaginary的第一个字母是i，所以就把i作为虚数单位的符号，相当于实数单位1。于是，任何一个虚数都能像实数一样，写成其单位的倍数。例如

$\sqrt { - 5} = \sqrt 5 \cdot \sqrt { - 1} {\text{ = }}\sqrt 5 i,$

$\sqrt { - \frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{1}{2}} \cdot \sqrt { - 1} = \sqrt {\frac{1}{2}} i$。

至此，数学家不仅把虚数和实数同样对待，而且把它们在复数的名称下统一了起来。就是说，复数包括了实数和虚数，用符号a+bi表示，其中a、b为实数，i为虚数单位。当a=0时，a+bi=bi，它表示一个纯虚数；当b=0时，a+bi=a，它就是实数。在复数中，虚数和实数相辅相成，缺一不可。

18世纪末，挪威数学家威塞尔、瑞士数学家阿尔刚，以及德国数学家高斯等人先后发明了将复数与平面上的点一一对应的做法。在平面上画两条垂直相交的直线，横的叫做实轴，竖的叫做虚轴。根据某一个单位长度，在两轴上刻上刻度，于是就建立了一个直角坐标平面。任意一个复数a+bi都与直角坐标平面上的一个点相对应，如果从该点向两轴作垂线，垂足与原点O的距离在实轴上为a个单位，在虚轴上则为b个单位。因此，在直角坐标平面上的任意一点必对应一个复数，实轴上的点对应实数，虚轴上的点对应纯虚数，原点对应于0。这种直角坐标平面叫做复数平面，简称复平面。在复平面上，人们再次看到了虚数与实数在数的地位上的对等性，当然也就感受到了它们的实际存在。从此，虚数的地位确立了，而虚数的名字也留存了下来。

关键词：虚数 实数 复数 复数平面