为什么说0.9=1

不少人觉得，$0.\dot 9$这个数，不论小数点后面的9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近于1，而不等于1。那么，$0.\dot 9$=1这个结论到底正确吗？让我们先来看一个例子。

将长度为1的线段等分为二，后一半再等分为二，如此下去，得到长度为$\frac{1}{{{2^n}}}$的更小的线段。这里n可以是任意地大，例如n=1000000。将等分后的所有线段加起来，其全长是

Sn=$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \ldots + \frac{1}{{{2^n}}}$。  ①

它与原单位线段的长度1相差仅$\frac{1}{{{2^n}}}$。容易看出，这个差异当n无限地增大时将变得任意地小。这就是说，当n趋于无限大时，和Sn趋近于1，或者说Sn以1为其极限，记作

1=$\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^n}}} + \ldots $。  ②

这是一个以$\frac{1}{2}$为公比（记作q）的无穷等比级数，对于丨q丨＜1的一般无穷等比级数，利用极限方法可得求和公式

$q + {q^2} + \ldots + {q^n} + \ldots = \frac{q}{{1 - q}}$。  ③

利用这个公式，可以很快得出

$\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^n}}} + \ldots {\text{ = }}\frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}}{\text{ = }}1,$

与②一致。同样，我们也可用这个公式得出$0.\dot 9 = 0.999 \ldots {\text{  }}$

关键词：无穷等比级数