什么叫做幻方

传说，远在夏禹治水时（公元前23世纪），在洛水里浮出来一只大乌龟，背上有一个九种花纹的图，后人称之为“洛书”。实际上，它就是从1到9的9个连续自然数排成3行9格的图，奇妙的是它的任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和均为15，而且这9个连续自然数既不重复，也无遗漏。

研究者们又进一步发现，具有这种奇妙性质的图形不仅限于洛书。于是把从1到n²的连续自然数所排成的，具有类似性质的方阵，统称为“纵横图”，它也就是西方所称的“幻方”。幻方的行列数称为“阶”，叫做“n阶幻方”。而洛书就是一个3阶幻方（见下图），也是最简单的一种幻方。

后来，又发现幻方中的数字只要是n²个不同的自然数就可以，而不一定是从1到n²。于是，这样排列的幻方又称为“n阶广义幻方”。n阶广义幻方比n阶幻方的个数要多得多。以3阶为例，3阶幻方只有1个，也就是洛书。而对于3阶广义幻方来说，在3阶幻方中，每个数都加上自然数m，可以得到一个新的3阶广义幻方；而3阶幻方中，数k加上（k-1）d（其中d是任意一个自然数），也可以得到一个新的3阶广义幻方。如下图：

你能说出这两个幻方是怎样得到的吗？m和d各等于多少呢？

近年来，有人在广义幻方中找到了两个双重的广义幻方，它们不仅每行、每列及对角线上的各数之和相等，而且各数之积也相等，称为“双重广义幻方”。这两个双重幻方，一个是8阶，另一个是16阶。

那么幻方又有什么用途呢？我们先来看看有名的“团体赛奇论”。大家知道，在围棋中，一般段位低的棋手敌不过段位高的棋手。假如有3个围棋队，每队都有3位棋手，他们的实力如同洛书上的排列，甲队棋手为四段、九段和二段；乙队为三段、五段和七段；丙队为八段、初段和六段。如果比赛采用循环赛，那么两个队要赛9场才能分出胜负。我们先来看看甲队与乙队的比赛情况，从前页的图上可知，甲队可胜4场，而乙队可胜5场，所以乙＞甲。根据同样的道理，可知丙＞乙。按照数学中的不等量公理，于是应该丙＞甲。但是参照洛书分析一下，不难看出，丙队能胜4场，而甲队能胜5场，所以竟是甲＞丙，不等量公理不适用了。

电子计算机的发展又给幻方赋予了新的意义，目前它在组合分析、图论、人工智能等各方面都有所应用。美国计算机协会主编的CACM程序汇编中也把幻方的编造程序收了进去。建筑学家勃拉东发现幻方的对称性极为丰富，其中有许多美丽的图案，可用于轻工业品、封面包装等的设计。

幻方越来越引起人们的重视。在国外出版的《现代代数及其应用》这本专著中，破天荒地把这个从前认为“雕虫小技”的东西列为专门题材。

关键词：幻方 纵横图