什么是数学模型

上一篇说到的用数学计算来代替军事演习或者设计产品，都离不开建立“数学模型”。我们知道，模型是对客观事物的一种模拟。但它又不是简单的仿造，它应当具有使我们感兴趣的主要性质。例如：陈列在展厅里的模型飞机，形态逼真是最重要的；而参加航模比赛的飞机，形态就不重要了，重要的是良好的飞行性能。模型还可以是对某些基本属性的抽象。例如，一张地质图和一张交通图，同是一个地区，反映的是不同的内容，看上去也完全不同。

上面所提到的都是一些实物的模型，那么，什么是数学模型呢？顾名思义，数学模型就是用数学方法构筑的模型。也就是把错综复杂的实际问题用数学的结构式加以表达。模型总是对实际问题的一种简化，实物的模型如此，数学模型则更是如此。如果不作简化，而想把现实的问题用数学来表达清楚，是完全不可能的。比如说，一辆行驶的火车，我们可以通过假设它作匀速运动，来计算一定路程它所花的时间或者一段时间它能走完的路程。这里我们对它的速度进行了简化，因为实际过程中火车不可能始终匀速前进的，就算不考虑途中的突发事件，火车的起动也需要花费一定的时间，并且需要把速度慢慢加上来。

既然数学模型是对实际问题的简化，那么同一个问题简化的程度不同，也就有不同的模型，有粗糙的，也有精致的。

例如人口增长的模型。根据英国神父Malthus的模型（1798年），假设人口净出生率b和净死亡率d都是常数，则净相对增长率r=b-d也是一个常数。如果初始时刻（t=0）的人口数是N₀，则t时刻的人口数

Nt=N₀·e^rt，

也就是说人口是按几何级数增长。对比已有的人口统计资料，人们发现19世纪以前，欧洲某些地区人口的增长与Malthus模型比较相符，而大多数情况则相去甚远。因而，这个模型不完全符合实际情况。因为，它没有考虑到随着人口的增长，环境、自然资源等对人口增长的限制。人口过多会出现诸如食品短缺、居住拥挤、污染严重等各种问题，从而导致出生率的下降和死亡率的上升。

著名的Logistic模型则是把r看成是人口数量N的函数重新得到的模型：

Logistic模型指出，人口增长有一个稳定的平衡值K。这一点要比上一个模型更符合实际，也和实际统计资料更加相符。因此，这个模型在进行生物数量的预测中有着十分广泛的应用。

那么，是不是考虑得越细致，模型就越好呢?也不一定！虽然考虑细致了，更接近于实际情况，但是模型的复杂程度也会随之大大地提高，也就给模型的使用带来很大的困难，因此反而变得不适用了。所以，一个好的数学模型，既要准确地反映实际情况，又不能太复杂。

建立一个适当的数学模型，会给我们的日常工作带来极大的方便；而要建立一个好的数学模型，除了要具备扎实的数学基础外，还要对所研究的问题有较深入的了解。数学模型可以说是多学科知识的一种渗透和交融。

关键词：数学模型