数学中的“多维空间”究竟是怎么一回事

日常生活中所说的“空间”，是现实的、具体的，由长度、宽度和高度表现出来的物质存在的一种客观形式。例如书桌所占的空间、衣柜所占的空间等。然而，在数学上，“空间”却被赋予许多新的涵义，它们有些是现实世界形体的一种抽象，如点、直线、平面、立体等；有些则是由于数学或其他学科研究的需要由数学家设想出来的。

从几何上说，空间被看成是点的集合，这个集合的点可以是有限个，也可以是无限个。于是，一个抽象的、只占有位置而无大小的“点”，也可以看成是一个空间。那么，怎样来区别直线、平面、立体这些都具有无穷个点的不同的空间呢？维数的作用正在于此。维数及多维空间是本世纪初，随着处理抽象空间的拓扑学的发展而逐步建立和完善的，在建立和完善的过程中还产生出专门化的维数论，研究如何对每一个空间指定一个确定的整数（即维数），以及比较各种维数的定义。

一般地说，维数是被用作确定一个空间中点的位置的实数的个数，不同的维数反映了不同的空间。例如，我们可以说直线是“一维空间”，因为用一个实数（x）就可以确定直线上点的位置；平面上的点的位置，需要用一对即两个实数（x、y）来确定，因此我们称平面为“二维空间”。同样，由于立体上的一点的位置需要用三个实数（x、y、z）来确定，所以被称为“三维空间”。而当整个图形为一个点时，其维数就假设为0。

一维、二维和三维空间尚具有相应的直觉基础，四维以上的空间就很抽象了，这些抽象的空间，在数学上一般被笼统地称为“多维空间”。

“多维空间”虽然很抽象，但却非常有用。例如，为研究飞机在空中飞行时的情况，科学家需要确定飞机在各时刻重心的位置以及飞机的方位。飞机的重心在空中的位置一般用直角坐标系的三个坐标x、y、z来决定，而飞机的方位可以用飞机相对于这个坐标系的三个方位角φ、θ、ψ来决定。这里共有六个参数（x、y、z、φ、θ、ψ），为研究问题方便，把这些参数按一定的次序排好，它们的一组（共六个）值，可以看做是表示某六维空间中的一个“点”，从而，这个“点”就标志了物理系统（如飞机飞行）的一个状态。这个系统随时间的变化，可以通过这个“点”在六维空间中的位置的变化来描写。这种形象化的描述方法是很便利的，不仅用于工程技术中，而且用于自然科学的理论研究中。

关键词：空间 维数 多维空间