无穷小和0是一回事吗

什么是无穷小？我们来看一个例子，函数f（x）=，当x越来越大时，函数值越来越趋向于0。我们就称函数f（x）为x→∞时的无穷小（“→”表示趋向于）。

一般地，如果函数f（x）当x→x₀（或x→∞）时的极限为零（记作limf（x）=0），这时函数f（x）就叫做x→x₀（或x→∞）时的无穷小。简单地说，以0为极限的量，就是无穷小。从这里，我们不难看出，无穷小是一个不断变化的量，不断地变小，越来越接近于0。例如f（x）=x-1，当x→1时也是无穷小。

那么无穷小与很小的数，例如百万分之一，是不是一回事呢？当然不是。因为无穷小是这样的一个函数，在x→x₀（或x→∞）的过程中，这个函数的绝对值小于任意给定的正数ε；而再小的数，也不可能有这样的性质，总有比它更小的数存在。例如取ε等于千万分之一，那么上面的数百万分之一就不能小于这个给定的ε了。

那么无穷小和0是不是一回事呢？显然0是一个确定的数，因而它是一个常量；而我们上面已经知道了无穷小是一个变量。不过0却可以作为无穷小的唯一的数，因为如果f（x）≡0，那么对于任意给定的ε＞0，总有∣f（x）∣＜ε。所以0本身就是一个无穷小量，无穷小量却未必是0。

再来看看四则运算，我们知道，0可以进行加、减、乘、除运算，但是0不能作为除数或分母。无穷小也有四则运算，所不同的是无穷小可以作为除数或分母。两个无穷小的和、差及乘积仍然是无穷小，但是两个无穷小的商却有几种不同的情况。如果α、β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小（α=0除外），而lim存在的话，那么则可能是常数，也可能是无穷小或无穷大。

如果lim=0，那么β就是比α高阶的无穷小；

如果lim=∞，那么β就是比α低阶的无穷小；

如果lim=c（不等于0的常数），那么β与α就是同阶无穷小；特别当c=1时，称β与α为等价无穷小。

所以无穷小之间也存在着大小之分，也可以进行运算。

关键词：无穷小 常量 变量 极限