无穷小和0是一回事吗
什么是无穷小?我们来看一个例子,函数f(x)=,当x越来越大时,函数值越来越趋向于0。我们就称函数f(x)为x→∞时的无穷小(“→”表示趋向于)。
一般地,如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零(记作limf(x)=0),这时函数f(x)就叫做x→x0(或x→∞)时的无穷小。简单地说,以0为极限的量,就是无穷小。从这里,我们不难看出,无穷小是一个不断变化的量,不断地变小,越来越接近于0。例如f(x)=x-1,当x→1时也是无穷小。
那么无穷小与很小的数,例如百万分之一,是不是一回事呢?当然不是。因为无穷小是这样的一个函数,在x→x0(或x→∞)的过程中,这个函数的绝对值小于任意给定的正数ε;而再小的数,也不可能有这样的性质,总有比它更小的数存在。例如取ε等于千万分之一,那么上面的数百万分之一就不能小于这个给定的ε了。
那么无穷小和0是不是一回事呢?显然0是一个确定的数,因而它是一个常量;而我们上面已经知道了无穷小是一个变量。不过0却可以作为无穷小的唯一的数,因为如果f(x)≡0,那么对于任意给定的ε>0,总有∣f(x)∣<ε。所以0本身就是一个无穷小量,无穷小量却未必是0。
再来看看四则运算,我们知道,0可以进行加、减、乘、除运算,但是0不能作为除数或分母。无穷小也有四则运算,所不同的是无穷小可以作为除数或分母。两个无穷小的和、差及乘积仍然是无穷小,但是两个无穷小的商却有几种不同的情况。如果α、β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小(α=0除外),而lim存在的话,那么则可能是常数,也可能是无穷小或无穷大。
如果lim=0,那么β就是比α高阶的无穷小;
如果lim=∞,那么β就是比α低阶的无穷小;
如果lim=c(不等于0的常数),那么β与α就是同阶无穷小;特别当c=1时,称β与α为等价无穷小。
所以无穷小之间也存在着大小之分,也可以进行运算。
关键词:无穷小 常量 变量 极限