为什么“立正、向右转、向左转、向后转”能构成数学对象

“立正、向右转、向左转、向后转”是四个动作，既不是数量，又不是图形，怎么能构成数学对象呢？真有些让人摸不着头脑。

那就让我们先分析一下这四个动作之间有什么内在联系吧！为方便起见，用符号I、R、L、H分别代表立正、向右、向左、向后转四个动作。设集合M={I，R，L，H}。如果先右转后左转，结果就相当于没转，也就是立正不动状态。如果用“○”表示两次动作的连续进行，就有R○L=I。同样，L○R表示先左转再右转，结果也等于I。H○L表示先后转再左转，结果是右转R。以此类推，可以得到如下的关系图。于是，在集合M上我们定义了运算“○”，M的四个元素之间也随之有了联系。

首先，M中任何元素与I作运算，都得到本身。I就相当于自然数1，1与任何数相乘都得该数本身。因此，I被称为单位元。其次，正如每个自然数a都有倒数一样，M中的任何元素都能在M中找到与之对应的一个元素，使这两个元素的连续运动的结果就是I，这两个元素被称作互为逆元。通过关系图可知，L、R互为逆元，I、H的逆元就是它们本身。再次，正如乘法有结合律一样，集合M关于运算，也是满足结合律的。例如，（L○R）○H=I○H=H，而L○（R○H）=L○L=H，所以（L○R）○H=L○（R○H）。

总之，对于含有I、R、L、H四个元素的集合M，其上有一个二元运算○，它又有单位元，每个元素又都有逆元，而且元素间的运算又满足结合律。这许多关系其实定义了集合M的结构。数学常常以这样的抽象结构为其研究对象。因此，我们说“立正、向右、向左、向后转”构成了数学对象。这个数学对象实际上就是抽象代数中的“群”。请读者试试看，若以M表示所有的正有理数，那么按照普通的乘法，M也构成群。

“群”的概念是由法国数学家伽罗瓦提出的，如今它已几乎渗透到数学的每一个领域，在物理、化学等自然科学中也有重要的应用。本书提到的一般五次以上的方程不能用求根公式解（见“解方程都能用公式吗”），也要用群论才能证明。

关键词：数学对象 单位元 逆元 群