球面和环面在“拓扑学”中是一样的吗

想象你面前的桌子上正放着一个皮球和一个面包圈，一只机灵的小蚂蚁正缓缓地在面包圈上爬来爬去，它心里想着：“嗯，这块地方好极了，又光滑，又平坦，稍稍有点儿坡度。”小蚂蚁一会儿又爬到了皮球上，它会发现自己换了个地方吗？事实上它很难发现。因为无论它在皮球上怎么爬，周围的情景看上去都和面包圈上没什么两样。

同样的问题对于我们人类来说却有完全不同的答案。你肯定会说：皮球和面包圈怎么会一样呢？瞧，面包圈当中有一个洞，可皮球就没有。而且，一刀切下去的话，皮球马上就分成了两半，可面包圈有可能只是变成了筒状，仍旧是“一个”。

为什么小蚂蚁会和我们的看法不一样？因为小蚂蚁只看到了眼前局部的东西，可我们却能从整体上看出皮球（球面）和面包圈（环面）的不同。20世纪发展起来的“拓扑学”就是这样一门研究整体性质的学科。

前面提到的“七桥问题”也是一个拓扑学的问题。哥尼斯堡城的各个岛屿大小不同、形状各异，七座桥也是长短不一，各具特色，但是我们无须关注这些局部的特征，只要把岛屿看成点，桥看成点之间的连线，就可以从整体上解决问题了。球面和环面局部上虽然相同，但整体上却不一样。“拓扑学”用“欧拉示性数”证明了两者之间的区别。球面的欧拉示性数为2，而环面为0。并且每增加一个环柄，欧拉示性数就减少2。如果把两个面包圈粘成个“8”字，它的欧拉示性数就成了-2。

关键词：球面 环面 拓扑学 欧拉示性数