为什么粗糙的砂纸能把物体表面磨光

许多人都有用砂纸打磨物体表面的经历。砂纸是在一张纸的表面粘上一层细砂制成的，它的表面很粗糙，拿它在光滑的物体表面磨一下，会留下一道道细细的划痕。但为什么它能把粗糙的物体表面磨光呢？

这涉及统计问题。

我们把物体表面分成许许多多小块来考虑。砂纸与物体每磨擦一次，物体表面的每一小块可能被每颗砂粒磨去一小部分，记为1，也可能没有被磨去，记为0，假设被磨去或没被磨去的可能性相等，那么经过两颗砂粒的磨擦，物体表面每一小块是否被磨去有四种可能：

（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）

即被磨去0部分、1小部分或2小部分，它们的可能性分别是 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{4}$。经过三颗砂粒的磨擦，则有八种可能：

（0，0，0） （0，0，1） （0，1，0） （0，1，1）

（1，0，0） （1，0，1） （1，1，0） （1，1，1）

即被磨去0部分、1小部分、2小部分或3小部分，它们的可能性分别是 $\frac{1}{8}$、$\frac{3}{8}$ 、 $\frac{3}{8}$和 $\frac{1}{8}$。

一般地，经过n颗砂粒的磨擦，物体表面每一小块是否被磨去共有2ⁿ种可能，且每一种的可能性是相同的。或者说被磨去0部分、1部分……n-1部分或n部分共n+1种可能，每一种的可能性分别是$\frac{1}{{{2^n}}}$、$\frac{n}{{{2^n}}}$、…$\frac{n}{{{2^n}}}$、$\frac{1}{{{2^n}}}$。因为经一颗砂粒磨擦后，物体表面每一小块平均被磨去$\frac{1}{2}$小部分，经过n颗砂粒的磨擦，每一小块平均被磨去$\frac{n}{2}$小部分。从可能性的角度讲，可以计算，每一小块被磨去$\frac{n}{2}$小部分左右的可能性最大。例如，当n=10时，每一小块被磨去4到6小部分的可能性是$\frac{{672}}{{1024}}$。当n=10000时，每一小块被磨去4900到5100小部分的可能性大约是84%，被磨去4800到5200小部分的可能性大约是99.54%。

由于一张砂纸上就有许多砂粒，每当砂纸与物体表面磨擦一次时，物体表面每一小块已经过了许多砂粒的磨擦，多次磨擦以后，n是非常大的。而每一小部分实际上又是非常小的，相差若干颗砂粒的磨擦，其差别可以忽略不计。因此，粗糙的砂纸可以把物体表面磨光。