为什么马能走遍棋盘上的每一点

你爱下象棋吗？在下棋时，一般都很重视马的走法，但是却很少有人注意马从一点走到某一点最少需要几步？如果要说明这个为什么的道理，作出比较满意的解答，的确也不很容易。

我们为了说明方便起见，先列成表：

先谈谈上表是怎样列出来的。

对于马的步法大家是熟悉的，马走日字，就是沿格子线先走一格，再从这一点走小方格子的对角线，为一步。现在，我们以马的起步点作为直角坐标的原点，坐标的其他规定象代数里所讲的一样，并设马希望到达的目的点为H，坐标为（a，b）。

当马走一步后，H（a，b）最多有8种，就是（2，1），（1，2），（-1，2），（-2，1），（1，-2），（2，-1），（-2，-1），（-1，-2）8个点的坐标。因此，有的人说马的步法是八面玲珑的。以（a，b）的绝对值之和来考虑，则有

│a│+│b│=3，

又马走一步，每个坐标最多2格，可知丨a丨和丨b丨都应≦2。而且a、b中一个是奇数，另一个为偶数。

反过来看，具有上述条件的点H（a，b）的，马可以一步达到目的地H点。

当马走两步时，丨a丨和丨b丨只能同是奇数或者同是偶数，又因两个奇数或两个偶数之和总是偶数，且最多不超过6，所以有

│a│+│b│≦6的偶数。

马走两步每个坐标最多4格，可知丨a丨和丨b丨都≦4，反过来也成立的。（除H（2，2）一个例外，到达H〔2，2）需要四步。）

当马走三步每个坐标最多6格，可知丨a丨和丨b丨都≦6。

至于走四步、五步……都可照上法求得。

现在来举例说明表的用法：

例1：马自左面河边象位起步，要走到对方右边车原来的位置上，至少要走几步？

解：H的坐标是（-2，5）而│-2│+│5│=7，且其中│5│＜6，从表中可知走三步、五步、七步均可到达H点，但三步是最少。

例2：马自右边车位起步，要走到对方的右边车位上，至少走几步？

解:H的坐标是（-8，9）而丨8丨+丨9丨=17，从表中可知最少要走七步。

最后要说的是，马是否可以走遍棋盘上的各点，我们从棋盘构造的格数可知，H（a，b）中的│a│+│b│最多不会超过17（如例2），而在表中凡│a│+│b│小于或等于17的数都有，这就证明了马一定可以走遍棋盘上的各个点了。