为什么抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线

在我们学过的曲线中，除了直线和圆外，抛物线、椭圆和双曲线大概是最简单，也是我们最熟悉的曲线了。它们在日常生活中也经常能看到，一些著名建筑也使用这些曲线作为设计元素，如北京国家大剧院、广州塔$\cdots\cdots$

抛物线、椭圆和双曲线又统称为圆锥曲线。为什么将抛物线、椭圆和双曲线称为圆锥曲线呢？这要从圆锥曲线的发展历史说起。研究圆锥曲线的诱因之一是古希腊三大著名几何问题之一的倍立方问题：仅用圆规与无刻度的直尺，寻找一个立方体，使得其体积是给定立方体体积的2倍。约在公元前4世纪，三大几何问题曾盛行一时，有许多古希腊学者研究过它们。

如果是倍平方问题，古希腊人早有很好的办法——求比例中项。已知正方形的边长为$a$，求一个边长为$x$的正方形使得其面积为已知正方形面积的2倍，则$x$就是$a$与2$a$的比例中项，即$a$:$x$=$x$:2$a$。而古希腊人对求比例中项得心应手。如$a$和$b$的比例中项$x$可由求比例中项示意图中所示的方法得到。即以$a$+$b$为直径作圆，直径为$AB$，直径上一点$C$满足|AC|=$a$，|BC|=$b$，过$C$作垂直于$AB$的弦$MM^\prime$，则弦长$|MM^\prime|$的一半就为$a$、$b$的比例中项$x$。而对倍立方问题，则需要用到二重比例中项： $$a:x=x:y=y:2a.$$

倍平方问题求比例中项示意图

倍立方问题求比例中项示意图

现在$x$是$a$和$y$的比例中项，而$y$本身是变化的，因而要作一系列圆来求$a$和$y$的比例中项$x$。古希腊数学家门奈赫莫斯想了一个办法，作一个顶角为直角的正圆锥，则其水平截面就是一系列直径变化的圆，每个圆的直径的长$AB$为$a$+$y$。作垂直于直径的弦$MM^\prime$就可得到比例中项x。而弦的端点$M$、$M^\prime$在圆锥上画出一条曲线，相当于用一个垂直于圆锥母线的平面与圆锥的交线，门奈赫莫斯称其为直角圆锥截线。如果取顶角为锐角和钝角的圆锥，用垂直于母线的平面与其相截，可以得到另外两条截线，分别称为锐角圆锥截线和钝角圆锥截线，统称为门奈赫莫斯圆锥三截线。它们分别是现在的抛物线、椭圆和双曲线的一支。

圆锥三截线

圆与椭圆	抛物线	双曲线
圆锥曲线

到公元前3世纪左右，阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究达到了顶峰。他的8卷巨著《圆锥曲线》包含了487个定理，基本上用纯几何方法能得到的结论都可以在他的书中找到原型，其内容之深之广，使阿波罗尼奥斯获得“伟大几何学家”的称号。阿波罗尼奥斯发现不需要三个圆锥，只要用一个圆锥，而改变所截平面的位置就可以得到三种圆锥曲线。同时，他发现了双曲线有两支。这样，圆锥曲线的名称也就固定下来了。在阿波罗尼奥斯的书中，对圆锥曲线的描述已接近近代方式，用现代表述，三种曲线分别对应于： $$y^2=2px，y^2<2px，y^2>2px$$ 这三种情形。鉴于上述关系，三种圆锥曲线分别被称为$Π$$αραβολη$，$Ε$$λλειψιζ$ 和$Yπερβολη$，意思是“正好”、“不足”和“有余”。中国学者在翻译时没有按原文直译，而是按曲线的形状翻译为抛物线、椭圆和双曲线。可见，历史上是先有圆锥曲线，再有抛物线、椭圆和双曲线的名称的。

广州塔使用了双曲线作为设计元素

北京国家大剧院使用了椭圆作为设计元素

在笛卡儿建立直角坐标系和解析几何后，人们又发现圆锥曲线可以用两个变量的二次方程来表示。反过来，除了一些特殊的退化情况，二次方程所表示的曲线就是圆锥曲线。因而，圆锥曲线又称为二次曲线。而代数方法的引入，使圆锥曲线的研究又有了本质的突破。