怎样判断一个自然数能不能被2、3、4、5、7、9、11等数整除

我们常常需要判断一个自然数能不能被另外一个自然数整除。当然，如果你手头有一个计算器，最直截了当的方法是在计算器上试算一下。然而，如果除数是一些比较简单的自然数，整除性问题往往有比较巧妙的方法判断。当你掌握这样一些窍门以后，即使手头没有计算器，也能很快回答某些整除性问题。

比较常见的整除性判别方法主要有两类，一类是看末位或末几位数字，如下文的（1）和（2）；另一类是先计算数字和或者乘以适当系数的数字和，再作判断，如下文的（3）～（6）。

（1）一个自然数的奇偶性决定了它能否被2整除：偶数（即个位数字为0、2、4、6或8的整数）能被2整除，而奇数（即个位数字为1、3、5、7或9的整数）不能被2整除。例如，465124能被2整除，但246809不能被2整除。

（2）一个自然数被5整除的判别准则是它的个位上的数字是0或5；一个自然数被25整除的判别准则是它的最末两位（十位和个位）是00、25、50或75。例如，1207895可以被5整除，但不能被25整除。

（3）一个自然数被3整除的判别准则是它的各位上的数字和能被3整除；一个自然数被9整除的判别准则是它的各位上的数字和能被9整除。例如，147345的各位上的数字和是5+4+3+7+4+1=24，能被3整除，但不能被9整除，所以147345能被3整除，但不能被9整除。

为什么会有这么简单的准则呢？因为如果a₀、a₁、a₂、a₃、…分别是自然数A的个位、十位、百位、千位……上的数字，那么

A=a₀+10a₁+10²a₂+10³a₃+…

=[(10-l)a₁+(10²-1)a₂+(10³-1)a₃+…]+(a₀+a₁+a₂+a₃+…)。

容易验算，10ⁿ-1(n是自然数)都是3和9的倍数，所以上式最后一行方括号中的数是3和9的倍数。由此得出结论，是不是3或9的倍数，只要看A的数字和a₀+a₁+a₂+a₃+…是不是3或9的倍数。

（4）一个自然数被4整除的判别准则是它的个位数字与十位数字的2倍的和能被4整除；一个自然数被8整除的判别准则是它的个位数字、十位数字的2倍以及百位数字的4倍的和能被8整除。例如，因为6+2×7=20能被4整除，所以1390276能被4整除；又因为6+2×7+4×2=28不能被8整除，所以1390276不能被8整除。

这两个准则的证明与（3）中的准则的证明类似，这里只证明被8整除的准则，另一个准则的证明留给少年朋友自己完成。采用（3）中的记号，A可以写成

A=[(10-2)a₁+(10²-4)a₂+10³a₃+…]+（a₀+2a₁+4a₂)。

容易看出，方括号中的数是8的倍数。因此，要判断A是不是8的倍数，只要看a_O+2_a1+4_a2是不是8的倍数。

（5）一个自然数被11整除的判别准则是它的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。例如，268829的奇数位数字和是9+8+6=23，偶数位数字和是2+8+2=12，两者差为11，能被11整除，所以268829能被11整除。又如，1257643，因为（3+6+5+1）-（4+7+2）=2，所以1257643不能被11整除。

证明仍然与（3）和（4）中的准则类似：用（3）中的记号，

A=[(10+1)a₁+(10²-1)a₂+(10³+1)a₃+(10⁴-1)a₄+…]+[（a₀+a₂+…)-(a₁+a₃+…)]。

前一个方括号中的数是11的倍数。因此，要判断A是不是11的倍数，只要看后一个方括号中的数是不是11的倍数。

（6）判断一个自然数是否被7整除是比较复杂的事，实用性也较小，但这里仍做介绍，给少年朋友参考，它的证明仍是仿照（3）～（5）的方法，请你自己证明。

首先，要记住一个“系数序列”：1、3、2、-1、-3、-2、1、3、2、…（请注意周期性），要判断一个自然数是否被7整除，要把这个数从个位开始的各位数字分别乘以上述序列中的对应系数后求代数和。如果代数和能被7整除，那么原数也能被7整除；如果代数和不能被7整除，那么原数也不能被7整除。例如，考虑5125764，因为4+3×6+2×7-5-3×2-2×1+5=28，所以5125764能被7整除。

在整除性判断时，还有一个非常有用的原则：如果一个自然数A可同时被自然数p和q整除，并且p和q互素，那么，A能被pq整除。例如，5125764同时被7和4整除，所以它被28整除；又如，个位数字为0的数能被10整除，因为它同时能被2和5整除。这里两个除数互素的条件是非常重要的，千万不能忽略。

关键词：整除性问题