钢球沿着什么样的路线落下来最快

如果让一个金属球沿着联接A与B两点的磨光的金属斜槽滚下，希望它能在最短的时间落到底，这金属槽应该做成怎样的形状？

这个问题初看起来一点也不难，好象这个金属槽应当做成直的，因为两点之间以直线为最短。可是，这个问题并不是要求最短的路线，而是要求最短的时间。要知道：球下落的时间不仅跟路线的长短有关系，跟球落下的速度也有关系。如果把金属槽的中部向下弯曲，从A点开始的部分就比直槽更陡，因此，钢球沿这部分落下来所获得的速度，—定比在同样长短的直槽部分所获得的速度来得大。可是，也要注意到一点，倘若把槽的上半部做得太徒，那么，下面联接B的部分就会很平坦，因此，在前面部分球虽然跑得很快，可是，到了后面部分球就跑得很慢，到达B点所用的时间也不一定最短。

到底应当把槽做成什么样的形状呢？意大利物理学家兼天文学家咖利略曾经考虑过这个问题，他认为这个槽应当做成圆弧形。可是50年后，在1700年前后，瑞士数学家伯努利用精密的计算证明不应当如此，这个槽应当弯曲成摆线的弧（如上页右图中最下面的一个槽)。从这个时候起，摆线就获得了“最速降落线”的名称。

摆线是怎样的曲线呢？当一个圆在定直线上滚动（而不是滑动）时，这圆周上一个定点所描出的图形，就是“摆线”〔如下图），又叫做旋轮线”。

这个问题的解答方法，后来发展成为一个新的数学分支——变分学，因而在数学史上起过重大的作用。

由于系统工程和运筹学的发展，变分学又恢复了青春的活力。