为什么会出现A·B≠B·A

数的加减乘除是大家都熟悉的。可是，有一个问题人们往往不注意，这就是运算的可交换性。举个例来说吧：设有两个数5和3，那么，我们知道5+3=3+5，5·3=3·5，但是，5-3≠3-5，÷3≠3÷5。两数的加法和乘法和它们的次序无关的这种特性，叫做可交换性。减法和除法就没有可交换性。

不可交换的运算多得很，随便规定一个运算往往是不可交换的。比方对任意两个数a和b我们已经定义了加法a+b，乘法a·b，也可以如下新规定一种运算“*”:a*b=a²·b这种*运算显然是不可交换的，因为3*5=3²·5=9·5=45，5*3=5²·3=25·3=75，所以3*5≠5*3。

这种*运算是随便规定的，没有什么实际意义可言。但是有一种“变换“的乘法虽然不可交换，却有深刻的实际背景。请大家注意，我们这里讲的不是数的乘法，而是“变换”的乘法。既然不是数，还可以谈乘法吗？答案是肯定的。

大家知道，数的乘法满足结合律，就是任给三个数A、B、C，总能适合（A·B)·C=A·（B·C)。例（3·4)·5=3·(4·5)，这个式子的两边都等于60。在近代数学里，把满足结合律的运算，统统叫乘法。这种对象多得很，最简单的例子是绕一点的旋转变换全体。我们把绕O点旋转角度θ，叫做旋转变换T_θ。把接连旋转二次T_θ1和T_θ2，叫做变换T_θ1和T_θ2相乘，记为T_θ2·T_θ1。这时，显然有T_θ3·(T_θ2·T_θ1)=（T_θ3·T_θ2)·T_θ1。这三次接连的旋转虽然结合的顺序不同，但结果都是转T_θ1+θ2+θ3。就是说，旋转变换的乘法满足结合律，符合我们的要求。

现在再看另一种变换。假设我们有一个附以座标的棋盘，上面有一个子A〔不妨认为它位于（6，1），即在从左往右的第六条线和从下往上数的第一条线的交点上〕。现在如果把A往右移1格，我们记为T₁，往左移3格，记为T_-3；往上移5格记为U₅，向下移1格，记为U_-1。一般地说，T_x表示左右移动，向右为正向左为负；U_x表示上下移动，向上为正向下为负。那么，对棋盘上A的所有平移变换T_x和U_x之间就可以定义乘法了：把接连施行两次变换看作变换的乘积。例如U₃·T_-4就是将A往左移四格再往上移三格到达（2，4）的位置。这种平移变换的乘法确实满足结合律，大家可以自己检验。特别是这种乘法还是可交换的。例如U₃·T_-4=T_-4·U₃，因为先上移3再左移4等于先左移4再上移3，与次序无关。这些和我们常识完全符合，是显而易见的。

下面我们再引进一种变换叫“对称”。棋盘上界河的中心线叫做l，任何一个位置P有一个关于l对称的位置P′，凡将P移到P′的变换叫对称变换。例如S(A)=A′，A′=（6，8）。现在我们可以看到S和变换U_x是不可交换的。拿S和U₁来说，(S·U₁)把A先上移一格然后作对称结果位于（6，7），但先作对称S再作U₁结果就会位于（6，9），两个变换的次序不同结果也不相同。这就是我们所要介绍的不可交换的乘法：S·U₁≠U₁·S。这个简单的例子说明，不可交换的乘法在几何学上会有很重要的应用。不难看出，S和T_x是可以交换的。还可以请你们验证，将A绕O旋转T_θ再平移T_x和先平移T_x再旋转T_θ结果不相同（注意，这时变换结果不一定是整数）。

最后，我们还可以举一个不可交换乘法的例子。在《为什么用矩阵能计算游览路线的数目》一题里，我们曾介绍过矩阵的乘法。这种乘法不满足可交换性条件，说明矩阵乘法也是不可交换的。

非交换乘法的例子告诉我们，现代数学已经从研究数扩展到研究变换、矩阵之类的极为广泛的对象。人们的数学眼光再也不能局限于数字的加减乘除了。