高数第七版下册曲面及其方程 高数 由曲面z＝1-x^2-y^2，平面y＝x，y＝√3x，z＝0所围立体位于第一卦限的体积

高数 由曲面z＝1-x^2-y^2，平面y＝x，y＝√3x，z＝0所围立体位于第一卦限的体积  

高数 由曲面z＝1-x^2-y^2，平面y＝x，y＝√3x，z＝0所围立体位于第一卦限的体积, 曲面y=1，z=0，x^2+y^2=z，y=x^2所围立体的体积为？

解：根据题意分析知，所围成的立体的体积在xy平面上的投影是D：y=1与y=x²围成的区域(自己作图)
故 所围成的立体的体积=∫∫<D>(x²+y²)dxdy
=2∫<0,1>dx∫<x²,1>(x²+y²)dy
=2∫<0,1>(x²+1/3-x^4-x^6/3)dx
=2(x³/3+x/3-x^5/5-x^7/21)│<0,1>
=2(1/3+1/3-1/5-1/21)
=88/105。

高数。。求曲面z=√(4-x^2-y^2)与3z=x^2+y^2所围立体的体积

第一个是上半球面，第二个是椭圆抛物面，
围成的立体形如两碗相扣，球面在上，抛物面在下，
为了求该立体在xoy面的投影区域，
来求两曲面的交线，为此，联立两曲面方程，
解得x^2+y^2=3，故区域D为x^2+y^2《3，
采用二重积分计算体积V=∫∫ D （√4-x^2-y^2 - (x^2+y^2)/3）dxdy
采用极坐标，V=∫(0到2π)d∫(0到√3) （√4-r^2 -r^2/3）rdr
=2π*。。。=

求由平面2x+z-2=0,y=0,z=0及曲面x^2+y^2-2x=0所围成的在第一卦限内的V。

z/αx=2x,αz/αy=2y,所以曲面在任意点(x,y,z)处的切平面的法向量是(2x,2y,-1).切平面与
平面2x+4y-z=0平行,所以2x/2=2y/4=(-1)/(-1),所以x=1,y=2.
所以x=x^2+y^2=5,切点坐标是(1,2,5).切片的法向量是(2,4,-1).
所求切平面的方程是2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0,即2x+4y-z-5=0.

计算由曲面y^2=x及y=x^2和平面z=0,x+y+z=2所围成立体的体积

解：所围成立体的体积=∫<0,1>dx∫<x²,√x>(2-x-y)dy
=∫<0,1>(2√x-x/2-x^(3/2)-2x²+x³+x^4/2)dx
=4/3-1/4-2/5-2/3+1/4+1/10
=11/30

求由曲线z=4-x²，2x+y=4，x=0，y=0，z=0所围成的立方体在第一卦限的 体积

积分区域，x∈[0，2],y∈[0,4-2x],
V=∫[0,2]dx∫[0,4-2x](4-x^2)dy
=∫[0,2](4-x^2)(4-2x)[0,4-2x]dx
=∫[0,2](16-4x^2-8x+2x^3)dx
=(16x-4x^3/3-4x^2+x^4/2)[0,2]
=32-32/3-16+8
=40/3.

求曲面z=(x^2+y^2)^0.5与z=1+(1-x^2-y^2)^0.5围成立体的体积？

曲面1为锥面z²=x²+y²的上半平面
曲面2为球面x²+y²+(z-1)²=1的上半平面
两者相交曲线为x²+y²=1
这个立体相当于冰淇淋的形状
下半个是圆锥
上半个是半球形
用二重积分
体积=∫∫{[1+√(1-x²-y²)]-√(x²+y²)}d∑
(∑是该立体在XOY平面的投影，即∑为x²+y²=1包围的圆面）
用极坐标代换
x=rcost y=rsint 则0<=t<=2π 0<=r<=1 d∑=rdrdt
代入体积表达式得
体积V＝∫∫[1+√(1-r²)-r]rdrdt
=∫dt∫[r+r√(1-r²)-r²]dr
=2π*[r²/2 - (1-r²)/3 *√(1-r²) - r³/3]|1,0
=π

设Ω={(x,y,z)│x^2+y^2+z^2≤R^2;z≥0},Ω1是Ω位于第一卦限，为何选C

## 奇偶对称性

如果积分区域Ω关于x=0对称，那么：被积函数是x的奇函数则积分为0，被积函数是x的偶函数则积分等于一半区间上积分的2倍。对y，z也有类似的性质。

本题中Ω关于x=0对称，关于y=0对称，所以如果被积函数是x或者y的奇函数，则积分等于0

A中被积函数x是x的奇函数，所以∫∫∫xdV=0，但Ω1∫∫∫xdV≠0

B中被积函数y是y的奇函数，所以∫∫∫ydV=0，但Ω1∫∫∫ydV≠0

D中被积函数是x的奇函数，所以∫∫∫dV=0，但Ω1∫∫∫dV≠0

C中被积函数f(x,y,z)=z同时是x，y的偶函数，所以使用上述性质2次，得到：

∫∫∫zdV=2*2*Ω1∫∫∫zdV=4*Ω1∫∫∫zdV

求由曲面z=x^2+y^2及z=4-x^2-y^2所围成的立体的体积

消去z， 得交线在 xOy 坐标平面的投影是 D : x^2+y^2 = 2,
V = ∫∫<D>[4-x^2-y^2-(x^2+y^2)]dxdy = 2∫∫<D>(2-x^2-y^2)dxdy
= 2∫<0, 2π>dt∫<0, √2>(2-r^2)rdr = -∫<0, 2π>dt∫<0, √2>(2-r^2)d(2-r^2)
= -2π[(1/2)(2-r^2)^2]<0, √2> = 4π.

求由曲面z=x^2+2y^2及z=3-2x^2-y^2所围成的立体的体积

两曲面方程联立，消去z，得x^2+y^2=1，所以整个立体在xoy面上的投影区域是D：x^2+y^2≤1。
体积V=∫∫ [(3-2x^2-y^2)-(x^2+2y^2)]dxdy=∫(0到2π)dθ∫(0到1) 3(1-ρ^2)ρdρ=6π∫(0到1) (1-ρ^2)ρdρ=3π/2。