什么是“连续统假设”

在上一篇问题中我们说到实数集合的基数不是ℵ₀。要得出这一结论，关键是说明无论怎样给实数排队，总有实数挨不上。我们甚至可以说明无法将0和1之间的全体实数排队。我们用反证法来证明这一结论，即假定有这么一支队伍x₁，x₂，x₃，x₄…，穷尽了0和1之间的所有实数。记

x_i=0.a_i1a_i2a_i3a_i4…，

其中a_ij是x_i第j个小数位上的数字，当然，a_ij的取值为0到9这10个数。

我们要找一条漏网之鱼，办法是非常简单但又很巧妙的——只要取y=0.b₁b₂b₃b₄…满足b_i≠a_ii，（这太容易办到了！），因为y的第i个小数位上的数字与x_i不同，对所有i，都有y≠x_i，从而y不在上面的队伍中。这个矛盾就说明了我们无论如何不能让0和1之间的实数和自然数一一对应，当然所有实数就更不能和自然数一一对应了。

实数集合的基数记为ℵ₁。一个新的问题产生了：在ℵ₀和ℵ₁之间存在其他基数吗？集合论的奠基者康托尔猜测在ℵ₀和ℵ₁之间没有别的基数了，也就是说，实数集合的无限子集合的基数只可能是ℵ₀和ℵ₁这就是所谓“连续统问题”（人们把实数集，也就是直线上的点集，称为“连续统”，这是“连续统问题”名称的来源）。

连续统问题在数学的许多分支中有重要的意义，因此自它提出以后数学家们努力去试图证明或否定它。1900年国际数学家大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个当时数学界最关注并且将对数学发展起关键作用的问题，连续统问题就首当其冲。但是，类似于欧几里得几何中的平行公理，数学家发现，所有的论据既不能否定它，也无法证明它。直到1938年，K.哥德尔证明了在集合论的ZF公理体系下连续统问题不可否定，25年后，P.J.科恩又证明了在ZF体系下连续统问题不可证明。哥德尔和科恩的成果被誉为20世纪数学基础研究中的两大成就，它们表明“连续统问题”与ZF公理体系之间的独立性，从而使“连续统问题”变成为“连续统假设”。

还有数学家认为连续统假设太让人不放心了，于是致力于寻找新的公理去替代它。他们还在努力之中。

关键词：集合 基数 连续统假设