王熙凤的百宝箱应该装几把锁

下面是借用文学名著《红楼梦》中情节所编的一个趣题。看上去这道题并不复杂，但要求得答案却要动一番脑筋，这对于开阔我们的思路无疑是有益的。

原来，大观园中有“老祖宗”贾母的一只百宝箱，里面收藏着许多国公爷传下的无价之宝。平日，放百宝箱的房间重门深锁，不准闲人接近。这几年，荣国府的境况好像王小二过年，一年不如一年，王熙凤只好背着老祖宗偷偷开箱，拿出一些金银珠宝去变卖，藉以勉强支持“坐吃山空”的局面。

后来，王熙凤生病，由探春、李执和宝钗帮助她办事。凤姐的小心眼比别人多，她深怕别人也学她的样，便禀明王夫人立下了规矩：箱子上要多装几把锁，每把锁各配2把钥匙（钥匙太多是会出毛病的），分由她们4个人掌管。并且规定，必须4个人中同时有3个人在场，才能打开这只百宝箱。

请问：百宝箱上至少要装上几把锁？销匙又应当怎样分配？

或许有人会说：这太简单了。4个人用4把锁，每人掌管3把钥匙不就行了吗？但略为思考一下，就可知道这个方案不行。因为4把锁只有8把钥匙，不够分配。

那么，每人只拿1把锁的钥匙，而且各人拿的都不一样行不行呢？那样的话，非得4人同时在场才能打开箱子。由.于王熙凤正在生病，这种做法也不妥，而且也不合题意。

如果每人拿2把锁的钥匙行不行呢？这种情况比较复杂，要仔细推敲一下。要是甲拿了第一和第二两把锁的钥匙，那么，另外3个人谁也不能同时拿第三和第四这两把锁的钥匙了，不然只要2个人在场就能把百宝箱打开。所以，在乙、丙、丁3个人中必定有1个人是拿了同一把锁的2把钥匙的。由此可见，除了这个人，其他3个人即使同时在场也不顶用，因为他们缺少开箱所必需的全部钥匙。这样看来，只用4把锁、8把钥匙是无论如何也不行了。

可以类似地证明，用5把锁，10把销匙也是不行的。

这个问题的答案是至少要用6把锁、12把钥匙才行。这种情况大概是你事先估计不到的吧。至于有了这些钥匙之后，具体的分配方案倒是有好多种，不妨随便举出一种：

王熙凤：1，2，3；探春：3，4，5；

李执：5，6，1；宝钗：2，4，6。

如果每个人后面的数目字保留不变，而把她们的姓氏（王、贾、李、薛）重新排列组合，则一共可得出4！=24种不同方案。

如果4人的姓氏次序不变，而把后面的数目字进行变换，譬如说：

$1 \leftrightarrow 6，2 \leftrightarrow 5，3 \leftrightarrow 4$

（这种做法在数学上称为“对调”），便可得到：

王：6，5，4；李：2，1，6；

贾：4，3，2；薛：5，3，1。

你们将会发现，这样分配后，任何3个人在场，都可以开箱；而只有任何2个人在场，就打不开箱子。

除了“对调”之外，还允许有别的变化，譬如说：

（这在数学上名叫“置换”）。现在请把变化结果自行书写出来，并进一步检查。你们自会发现，题目的各项要求仍然可以得到完全满足。

讲到这里，你们大概会惊叹：想不到百宝箱的钥匙问题，竟也用得上高等代数里头的“置换”和“对调”的概念（严格点说，对调只不过是置换的一种特例而已）！