数学中的“多维空间”究竟是怎么回事

首先得说一下，在日常用语中和在数学中，“空间”这个词有什么不同？

我们知道，在日常用语中，“空间”这个词是指由长度、宽度、高度表现出来的，物质存在的一种客观形式。例如，通常所说的：“箱子所占有的空间”、“房间所占有的空间”等等。如果要把箱子和房间所占的空间反映出来，那么就得去丈量它们的长度、宽度和高度，用这三个数字来加以表示。日常用语中所说的空间，应该是现实的具体的，不存在无长度的，或者无宽度的，或者无高度的空间。因此，像几何学中所说的点、直线、平面等，就不是我们日常用语中所谓的空间了。

然而，“空间”这个词在数学中的意义就不同了。数学从日常用语中借用了“空间”这个词以后，赋于了它许多新的涵义。从几何上说，空间被看成是点的集合，这个集合中的点可以是有限个也可以是无限个。于是，一个抽象的点，即只占有位置而无大小的“点”也可以看成一个空间；当然，像直线、平面、立体这些其中具有无穷个点的几何图形更可以看作是不同的空间了。

那么怎样来区别直线、平面、立体这些都具有无穷个点的，不同的空间呢？用维数就是一个很好的办法。例如，直线我们说它是一维的空间，简称“一维空间”。这是因为用一用实数（x）就可以确定直线上点的位置。平面上的点不能用一个实数来确定它的位置，它的位置要用一对即二个实数来确定，因此我们就说平面是二维的空间，简称“二维空间”。同样，由于立体中的一点的位置需要用三个实数来确定，所以立体就被称为“三维空间”。当整个图形为一个点时，点的维数假设为0。

可见，维数在这里是被用作确定一个空间（图形）中的点的位置的实数的个数，不同的维数反映了不同的空间（图形）。

数学中的空间并不都是摸得着看得见的。它们有些是现实世界形体的一种抽象，如点、直线、平面、立体等。有些则是由于数学或其他科学研究的需要由数学家设想出来的，如数学家设想了一个空间，其中的点需要用四个实数来确定，显然，如果用维数来表示的话，这个空间就应该是四维空间了。同样，数学家也完全可以设想出五维、六维，甚至是无穷维的空间，用于科学研究和解决实际问题。

除了一维、二维和三维空间尚具有相应的直觉基础外，四维以上的空间就很抽象了，这些抽象的空间，数学上一般笼统地称它们为“多维空间”。

多维空间虽然很抽象，但却非常有用，它绝不是数学家随意拍脑袋想出来的。例如，为研究飞机在空中飞行时的情况，科学家需要确定飞机在各时刻重心的位置以及飞机的方位。飞机的重心在空中的位置一般用直角坐标系的三个坐标x、y、z来决定，而飞机的方位可以用飞机相对于这坐标系的方位的三个方位角φ、θ、ψ来决定。这里一共有六个参数x、y、z、φ、θ、ψ），为研究问题方便，把这些参数按一定的次序排好，它们的一组（共六个）值，看作是表示某六维空间中的一个“点”，从而，这个“点”就标志了物理系统（如飞机飞行）的一个状态。这个系统随时间的变化，可以通过这个“点”在六维空间中的位置的变化来描写。这种形象化的描述方法是很便利的，不仅用于工程技术中，而且也用于自然科学的理论研究中。

当然，严格地讲，上面关于维数的定义是含混而带描述性的。维数以及多维空间的严格定义是本世纪初随着处理抽象空间的拓扑学的发展而逐步建立和完善的，并产生出专门化的维数论，研究如何对每一个空间指定一个确定的整数（即维数），以及比较各种维数的定义。这些专门化的理论这里就不讨论了。