为什么迭代可以产生拟随机数

如图所示，这是二次函数y=ax（1-x）（0＜x＜1，a为参数）的图象：一条开口向下，在x=处取得最大值的抛物线。在这条抛物线上，对于每一个确定的x值（0＜x＜1），都能得到唯一的y值。倘若我们取定x₀，0＜x₀＜1，把得到的y₀值看做一个新的x值再次代入该二次函数，会得到一个新的函数值y₁，再将y₁代入，可得……这样不断继续下去，会得到一系列的数值：y₀，y₁，y₂，…，这样的过程在数学中称为迭代。从这个二次函数出发，任意选取某一个x₀（0＜x₀＜1）作为迭代的初始值，根据参数a的不同取值，会得到一些很有意思的结果。

当a取2时，取迭代初值x₀为0.2，进行迭代后得到一系列的y值为：0.18，0.2952，0.4161140，0.485926，0.499604，0.50000，0.50000，…，可见，这个数列最终停留在一个恒定的值0.5上。

当a取3.2时，同样取初值为0.2，得到的数列是：0.512，0.799539，0.5128840，0.7994690，0.5130190，0.7994580，0.5130400，0.7994560，0.5130440，0.7994560，0.5130440，0.7994560，0.5130440，…，迭代数列的值最终停留在0.7994560与0.5130440这两个数值上，它们交替出现。

当a取3.5时，初值仍为0.2，选取迭代次数为30次，就已经能发现迭代值最后停在交替出现的0.3828200，0.8269410，0.500840，0.8749970这四个数值上。当a继续增大时，会出现迭代结果是交替出现的八个数值、十六个数值……的情况。

但是当a＞3.57时，不妨取a=3.58，在同样的条件下，迭代后得到的y值将为：0.5728000，0.8760270，0.388020，0.8507340，0.4546100，0.8876240，0.3570966，0.8218190，0.5240630，0.892927，0.3422780，0.8059430，…，原来有规律的现象突然消失，迭代值不会再是若干个恒定的交替出现的数值，反而是一列毫无规律的数，好像随机取来的一样，这就是拟随机数。有兴趣的同学可以利用计算机自己计算一下。

由一个确定的二次函数出发，选定某一个参数a后通过迭代能得到一列捉摸不定、无法预言的拟随机数，似乎令人难以置信。但它的的确确是个事实，可以由计算机来进行检验。这是确定性非线性系统内在固有的现象，被称为内在随机性。内在随机性是新兴科学混沌理论的重要特征。

确定性过程蕴含着随机现象，对立统一规律在这里又一次得到了体现。由迭代所孕育的意料之外、情理之中的拟随机数使人们对自然的认识又加深了一步。

关键词：迭代 拟随机数