为什么古希腊英雄阿基利斯一定能追得上乌龟

古希腊哲学家芝诺提出过一个著名的悖论：希腊神话中的阿基利斯—一个以善跑著称的英雄，不能追上一个行动很慢的乌龟。他的具体论述如下：假定阿基利斯与乌龟沿着同一直线运动，乌龟在前，阿基利斯在后面追赶。不论阿基利斯跑的速度有多快，也无法追上乌龟。他的理由是：当阿基利斯到达乌龟的起点$A$时，乌龟在这段时间内又走到了$A_1$点。而当阿基利斯追到$A_1$时，乌龟又利用这一段时间跑到了$A_2，$这样就得到了一串点列：$A，A_1，A_2，\cdots$。当阿基利斯到乌龟上一次的起点$A_{n-1}$时，乌龟又利用这一段时间，从$A_{n-1}$向前慢慢移动到$A_{n}$。如此下去，阿基利斯将永远追不上乌龟。

我们该如何解释芝诺的悖论呢？问题出在哪里？

阿基利斯追到乌龟初始位置时，乌龟又向前跑了一段

古希腊哲学家芝诺

的确，在阿基利斯到达每一个点$A_{n}$时，他都落在乌龟之后，不管$n$有多大，都是如此。但是，阿基利斯“永远”追不上乌龟的结论不能成立。这是因为“永远”指的是时间，而$n$只是阿基利斯在追赶过程中没有追到乌龟之前的一串点$A_{n}$的编号而已。这个编号$n$可以任意大，完全不等于追赶时间要任意长。芝诺在讨论中偷换了概念。

现在，让我们计算一下阿基利斯自起点追赶到$A_{n}$的时间。

设比赛开始时乌龟与阿基利斯之间距离为$d$，而乌龟与阿基利斯的速度分别是$v$与$u$。假定$q$为$v$与$u$之比，即$q=v/u$，那么$q$是小于1的正数。阿基利斯自起点到达乌龟的起点$A$时所需要的时间为$t_0=d/u$，而在这一段时间内，乌龟从$A$走到$A_1$，而$A$到$A_1$的距离为 $$\overline{A A_1}=t_0v=\frac{d}{u}v=dq.$$

当阿基利斯自$A$走到$A_1$，所需的时间为 $$t_1=\frac{\overline{A A_1}}{u}=\frac{dq}{u}.$$ 而在$t_1$这段时间内，乌龟又从$A_1$走到$A_2$，所走的距离为 $$\overline{A_1 A_2}=t_1v=\frac{dq}{u}v=dq^2.$$

奔跑的阿基利斯与乌龟

如此下去，用数学归纳法不难证明：$A_{n-1}$到$A_n$的距离是 $$\overline{A_{n-1}A_{n}}=dq^n.$$

有了这些公式，我们就可以推出从$A$到$A_n$的距离为 $$\overline{A A_n}=d(q+q^2+\cdots+q^n)=\frac{dq(1-q^n)}{1-q}<\frac{dq}{1-q},$$ 而阿基利斯自起点到$A_n$的总时间为 $$T_n=t_0+t_1+\cdots+t_n=\frac{d(1-q^{n+1})}{u(1-q)}<\frac{d}{u(1-q)}.$$ 这里最后一个等式用到了等比数列的求和公式。这样，无论$n$有多大，$T_n$不会超过一个固定的数$\frac{d}{u(1-q)}$，而且容易看出，当$n \to \infty$时， $$T_n=\frac{d(1-q^{n+1})}{u(1-q)}\rightarrow\frac{d}{u(1-q)}.$$

这就告诉我们，在阿基利斯追赶乌龟的过程中，总时间不会超过$\frac{d}{u(1-q)}$，怎么能说“永远”追不上呢？读者还不难验证，在阿基利斯追赶的时间达到$\frac{d}{u(1-q)}$时，他与乌龟恰好相遇。

总之，在上述例子中，随着$n$的增大，线段$A_{n-1}$$A_n$按一个固定比例缩小，从而阿基利斯走完这段路程$A_{n-1}$$A_n$所需的时间也按固定比例缩小。因此，所花费的总时间是个有限数，并不是无穷。

事实上，任何运动都是一个无限的过程。一个人从某一点走到另外一点，尽管所花的时间以及所走的距离都是有限的，但是运动的过程却是无限的，因为这个人必须走过无数个点才能到达目的地。这个过程的无限性不能推出所花的时间也是无限的。

一般说来，数学中的极限过程都是一个无限过程，但其极限值却是一个有限数。