为什么规定a0=1

在数学中常会遇到几个相同的数相乘，为此引入了乘方运算，并用符号$a^n$来表示，如$7^5=7×7×7×7×7$。$a^n$中的$n$称为指数，指同一数连乘的次数。

按照乘方的定义，$a^0(a≠0)$等于什么呢？如果把这一式子理解为$a$自乘0次的结果，那么这个结果是多少？不必奇怪，我们无法确定出答案。因为乘方的定义中，指数是正整数。因此，当我们把指数由正整数推广至0时，就无法套用原有的定义。但奇妙的是，可以借助于乘方的最初定义给出$a^0$的恰当结果。让我们回到正整数次幂，看看乘方具有的运算性质。

从一个简单的例子出发： $$7^5\times7^3=(7\times7\times7\times7\times7)\times(7\times7\times7)=7^8.$$ 对此，有更简单的算法， $$7^5\times7^3=7^{5+3}=7^8.$$ 一般地，我们有 $$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$$ 类似地， $$\frac{7^5}{7^3}=\frac{7\times7\times7\times7\times7}{7\times7\times7}=7\times7=7^2,$$ 即 $$\frac{7^5}{7^3}=7^{5-3}=7^2,$$ 一般地，我们有 $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ 由于0不能做除数，我们还要求$a≠0$。

从乘方的运算法则中我们看到了计算$a^0$的方法。事实上，取相同的指数，我们有： $$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0.$$

由于$\frac{a^n}{a^n}$ 等于1，因此就得到$a^0=1(a≠0)$。

在上面定义的基础上，我们还可以把指数推广至负整数。因为$a^{-n} \cdot a^n=a^0=1$，因此有 $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)$$

再进一步，可以将乘方中的指数推广到分数指数。这只需要承认一个前提，当指数是分数时，乘方的运算法则仍然成立。于是有 $$a^\frac{1}{2} \cdot a^\frac{1}{2}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=a^1=a.$$ 这个式子意味着两个$a^\frac{1}{2}$相乘或者说$a^\frac{1}{2}$平方后等于a。想一下，谁平方后等于a？没错，是$\sqrt{a}$。因此我们可以自然地定义： $$a^\frac{1}{2}=\sqrt{a}.$$

按照同样的思路，就可以给出指数为一般分数时的定义。如果学习了极限，还可以把指数推广到任意实数。不过分数指数和无理数指数对a往往有较多限制。