为什么客满的希尔伯特旅馆还能入住新客人

集合论的创始人、德国数学家康托尔关于无穷集合的理论可以说惊世骇俗，在创立之初难免会遇到很大阻力，甚至遭到公开反对。但也有不少数学家对这一理论给予很大支持，其中就有20世纪伟大的数学家希尔伯特。据说，希尔伯特为了说明无穷的属性，曾在一次讲演中讲了下面的故事：

我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，并且都已客满。这时来了位新客人要开一个房间。旅馆老板说：“对不起，所有房间都已客满。”

再设想一家有无穷多个房间的旅馆，同样所有房间都已客满。这时也来了位新客人要开一个房间。“但是$\cdots\cdots$嗯，没问题!”旅馆老板想了一下说。接下来，他将住1号房间的客人挪到2号房间，将住2号房间的客人挪到3号房间，将住3号房间的客人挪到4号房间，$\cdots\cdots$，这样，新来的客人就住进了已被腾空的1号房间。

普通旅馆是无法入住新客人的

还是这家旅馆，并且所有房间都已客满。这时来了无穷多个新客人要求开房间。凭着上次经验，旅馆老板爽快地说：“好的，先生们，请等一下。”接着，他将住1号房间的客人挪到2号房间，将住2号房间的客人挪到4号房间，将住3号房间的客人挪到6号房间，如此等等。这样，原来的客人都住进了偶数号码的房间，新来的无穷多的客人就可以直接住进已被腾空的奇数号码的房间。这样，这无穷多个新客人都满意地住了进去。

关于这个故事就转述到这里，后来这个旅馆就被称为希尔伯特旅馆。希尔伯特讲述这个故事是为了让人们更形象地理解“无穷集合”的概念，旅馆老板之所以每次都能解决客满状态下新客人的住宿问题，是因为他每次都建立了一个无穷集合到另一个无穷集合的一 一对应关系。