为什么每两点距离不超过1的一个点集能被半径为三分之根号三的圆所覆盖

这里，我们所讨论的是平面上的点集。一个点集M能被半径为$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$的圆所覆盖，是指在平面上能找到一个半径为$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$的圆，使点集中的每一点或在此圆内或在此圆圆周上。下面我们先就M是由3个点或4个点组成的特殊情况进行讨论。

1.M由成A，B，C三点组成，且每两点的距离不超过1。连结AB，BC，AC，构成一个边长都不超过1的三角形ABC。此时又有两种情况：

（1）如图1，当是△ABC角或直角三角形时，不妨设∠A为钝角或直角，那么以最长边BC为直径的圆即能覆盖A，B，C三点，其中∠A为钝角时A点在圆内，∠A为直角时A点恰在圆周上。由于BC≤1，所以半径$R \leqslant \frac{1}{2}$的圆就能够覆盖住三点。

（2）如图2，当△ABC是锐角三角形时，则总有一角（设∠A）大于或等于60°。作△ABC的外接圆，设其半径为R，则由

$2R \leqslant \frac{{BC}}{{\sin A}} \leqslant \frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}$，

推得$R \leqslant \frac{{\sqrt 3 }}{3}$。

2.M由A，B，C，D四点组成，且每两点距离都不超过1。此时也可分为几种情形：

（1）A，B，C，D四点中有一点（设为D）在△ABC内部或边界上，那么覆盖△ABC的圆必能覆盖A，B，C，D四点，问题转化为三点时情形。

（2）ABCD形成凸四边形。

（i）如图3，设有一对对角都大于或等于90°，不妨设∠A，∠C≥90°，则以BD为直径的圆可以覆盖此四点，此圆半径

$R \leqslant \frac{1}{2}＜\frac{{\sqrt 3 }}{3}$。

（ii）有一对邻角都小于90°，不妨设∠A，∠B＜90°。如图4，一种情况，如果∠2＞∠1≥90°，则以AB为直径的圆可以覆盖A，B，C，D四点，该圆半径$R \leqslant \frac{1}{2}＜\frac{{\sqrt 3 }}{3}$。另一种情况，如果∠2≥∠1，∠1＜90°，则△ABC的外接圆即可覆盖A，B，C，D四点，此时D点必在该圆内或圆周上，该圆半径$R \leqslant \frac{{\sqrt 3 }}{3}$。

综上所述，A，B，C，D四点总可被以$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$为半径的圆所覆盖。

对于M是平面上一般点集情形，我们可以应用海莱定理来加以证明。海莱定理是：“平面上无限多个（或个数≥3）凸形中，如果每3个凸形都有公共点，那么这组凸形必有公共点。”

如果M是平面上一个点集，点数≥3，且每两点间的距离都不超过1，则M能被半径为$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$的圆所覆盖。事实上，我们如对M中任一点x，作以x为圆心，$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$为半径的闭圆O_x，这样，我们得到平面上一族闭圆｛O_x｜x∈M｝。任取其中三个圆，例如O_A，O_B，O_C，由于A，B，C三点总能被一个半径为$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$的圆所覆盖，设此圆心为P点，则P点必和A，B，C的距离≤$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$，故P点必同时在O_A，O_B，O_C内O_A，O_B，O_C必有公共点。由海莱定理知，所有闭圆｛O_x｜x∈M｝都是凸形，必有公共点，设Q是其一个公共点，则以Q为圆心，$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$为半径的圆即能覆盖所有M中的点。

当M是由两点组成时，结论是明显的。至此，我们证明了本题所述结论。对于空间中的一个点集M，每两点距离不超过1，可以得到什么类似的结论，读者不妨试一试。