为什么没有最小公约数和最大公倍数

在数学里我们学过最大公约数和最小公倍数。也许你会提出问题，为什么公约数要讲最大，而公倍数却又讲最小呢？有没有最小公约数和最大公倍数呢？如果有的话，那么为什么不讲呢？

我们先从一个具体情况来看：

譬如如有正整数16和24，它们有许多公约数，就是：1、2、4、8，它们的最大公约数是8，最小公约数是1。

再看正整数15和56，它们只有一个公约数，就是1。

从这里可以看出，任何两个正整数，总有公约数1，而且1总是它们的最小公约数〔公约数总是只讲整数的〕。两个或两个以上的数，它们的最小公约数既然总是1，当然不必讨论了。这就是我们不谈最小公约数的一个道理。但这还不是主要的道理。主要的道理在哪里呢？

我们学习数学，总是有目的的，要数学知识为我们服务，而不是拿数学知识做游戏。两个正整数的最大公约数，在分数约分里是用得到的。通过约去分子分母的最大公约数，我们可以把一个分数化成最简分数。这样就比较简单了。而最小公约数1，却没有什么用处。这是我们不研究最小公约数的根本原因。

那么，两个正整数有没有最大公倍数呢？譬如有两个正整数16和24，它们的最小公倍数是48。48乘上任何整数之后显然仍旧是16和24的公倍数。

譬如48×2=96，48×3=144，48×4=192，48×1000=48000等都是16和24的公倍数。因为自然数没有最大的数，所以也就没有最大的公倍数。

事实上，在分数通分的时候，也只需用到最小公倍数。如果用较大的公倍数，反而不方便。既然没有最大公倍数，也不需要任何较大的公倍数，这就是我们只研究最小公倍数的理由。