为什么不能用对边中点距离之积作为任意四边形的面积

用对边中点距离之积求任意四边形的面积正确吗？这是我国著名数学家华罗庚教授曾经讨过的一个问题。

在过去农村中，地主剥削农民，在收取地租时要计算土地的面积。对于不规则的西边形地块，就常用对边中点距离之积来计算其面积。

这样计算是否正确呢？我们知道，对于正方形或长方形地块来说，上述计算是正确的。但是，对于一般的不规则四边形，情况就不同了。下面我们来讨论这个问题。

图1

如图1，设EG和FH交于P，那么P点必是EG和FH的中点。对此，我们可以设想有四个重量各为10牛顿的小球分别放在A、B、C、D点位置上。如果要求四个小球所受重力的合力，则用下述两种途径所求得的合力应该是一致的。

（1）先求出A、B两小球重力的合力F₁，其作用点在点，方向向下，大小为20牛顿。同样，C、D两小球重力的合力F₂，其作用点在G点，方向向下，大小也为20牛顿。因而A、B、C、D四小球所受重力的合力一定就是F₁和F₂的合力，其作用点在EG连线的中点，方向向下，大小为40牛顿。

（2）先分别求A、D两小球重力的合力F₃和B、C两小球重力的合力F₄，然后应用（1）的办法再求F₃、F₄的合力，其作用点应是FH的中点。这就说明EG的中点和FE的中点都是四球所受重力的合力的作用点，即是同一个点，所以P点是EG和FH的中点。

然后，我们设想，用一把剪刀沿EG、FH把四边形剪开成4块，并以H、G、F为铰链，如图2那样把4小块的图形向外翻转，使AH和DH重合，DG和CG重合，GF和BF重合。由于四边形四内角之和为360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，此时，第Ⅰ块的AE边恰和第Ⅱ块的BE边相重合。容易知道，经重新拼成的图形是一个平行四边形（图3），其两组对边的长分别等于EG和FH，其四内角分别等于EG和FH间的交角。这个平行四边形的面积和原来的四边形ABCD的面积是相等的，所以

S=EG×HF×sin∠HPG≤EG×HF。

上式等号当且仅当sin∠HPG=1，也即EG⊥FH时成立。

这说明只有当四边形对边中点连线互相垂直时，对边中点距离的乘积才等于四边形的面积。一般情况下，积EG×HF要比四边形的面积大，所以用这种方法来计算不规则四边形的面积，实际上是地主增收了地租，加重了对农民的剥削。

可以证明，上述结论虽然是在四边形为凸四边形时给出的，但对任意四边形，包括凹四边形，结论仍然适用。