为什么拟柱体公式能计算各种形状的体积

在生产与日常生活中，常常要计算体积。

几何学上告诉我们许多立体的求积法，例如，圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，球的体积公式等等，这些公式，有些人可能已经相当熟悉了。

圆柱、圆台和圆锥虽是三种不相同的几何图形，各有其特殊点，也有互相联系、互相贯通的地方。现在我们来介绍—个公式，它能够体现各种公式的共性，可以用来计算各种形体的体积。这个公式是:

v=(b₁+4b₂+b₃)。

这里，b₁表示下底的面积，b₂是中截面的面积，b₃是上底的面积，h是立体的高。

先来看一看棱柱和圆柱。这时候，很明显b₁=b₂=b₃，因此，可以用同一个字母b来表示，

∴ v=(b+4^b+b)=bh。

这就是通常所说的棱柱和圆柱的体积公式。它们的体积等于底面积和高的乘积。

再来看一看棱锥和圆锥的情况。这时候，b₂=，而b₃=0，

∴ V=+（b₁+4×+0)=。

这岂不正是棱锥和圆锥的求积公式吗？

最后，再看一看球的情形。

设是球的半径。很明显，b₁=0，b₂=πr²，b₃=0，而h=2r，

∴ V=(0+4πr²+0)×2r=πr³。

你看，它又变成球的体积公式了。

至于棱台、圆台的体积公式，你自己就可以去验证了。

最奇妙的，这个公式的意义还不限于此，如果我们把公式里字母的意义改变一下，即

b₁表示下底长度，b₂表示中间一线的长度，b₃表示上底长度，表示高。

那么，这个公式还可以用来计算面积。

我们先来看一下平行四边形的情况：很明显，b₁=b₂=b₃，可用同一个字母b来代表，

∴ 面积A=(b+4b+b)=bh。

这不正好是平行四边形的面积么？

应用到梯形的时候，b₂=(b₁+b₃)，

∴ A=(b₁+4×+b₃)

=(b₁+b₃)。

比较一下梯形的面积公式，我们发现它真是一点也不差。

再把这公式应用到三角形，那么

b₂=，b₃=0

∴ A=(b1+4×+0)=。

你看，它又摇身一变，成为三角形面积公式了。这多有趣呀。