为什么有人在取火柴游戏中常能获胜

有一种两人玩的取火柴游戏，由于它流行于我国民间，因而有人称之为“中国人的两人火柴游戏”。这种游戏的规则是这样的：

在桌上放几堆火柴，堆数和每堆的火柴数可以任意给定。由两人轮流取走火柴，并约定每人每次可以在任一堆里取走任意根火柴，但每次只允许在同一堆里取，不允许在这一堆里取一些又在另一堆里取一些，也不允许不取。以最后能一次取走所有的火柴为胜。

在进行这种游戏时，有些人常能获胜。这是为什么呢？原因是这些人掌握了玩这种游戏的诀窍和方法。下面就让我们来分析一下，它的诀窍在哪里，要掌握什么方法。

为分析方便起见，我们用（A，B，…）表示形势，其中字母代表“堆”，各个字母所取的值分别代表各堆火柴的根数。取的过程和取前、取后形势用

表示。

先看几个例子：

例12堆火柴，每堆2根，即游戏开始形势为（2，2）的情况。如果由甲先取，乙后取，则所有可能发生的情况如Ⅰ所示。

（Ⅰ）

很明显，Ⅰ中情况①、④、⑦、⑥都是乙胜，而②、③、⑤、⑥都是甲胜。但后四种情况乙都可以避开，使它们不发生，因而对于（2，2）形势，后取者乙总可以获胜。

例22堆火柴，一堆1根，另一堆2根。仍由甲先取。此时，所有可能发生的情况如Ⅱ所示。

（Ⅱ）

在此例中，情况⑨、⑩都是甲胜，、都是乙胜。但后两种情况甲都可以避开，使它们不发生，因而对于（1，2）形势[或（2，1）形势]，先取者甲总可以获胜。

例33堆火柴，各堆的根数分别为1，2，3。这时，不论甲如何取，后取者乙总可以如（Ⅲ）那样取火柴，使剩下的2堆火柴转变成例1情况，从而获胜。

（Ⅲ）

上述三个例子中，为什么有时后取者可以获胜，有时先取者可以获胜呢？

为了找出取胜的关键所在，我们借助于二进制数的表示来进行分析：

上面箭头左端为各堆火柴数，右端为用对应的二进制数表示的火柴数，横线下的每一位数字是横线上同一位上的1加起来的结果。如果横线下的各个数字都是偶数，则称（A，B，…）为“偶形势”；如果其中至少有一个数字为奇数，则称之为“非偶形势”。

对照上面三个例子可知：对于偶形势，无论先取者怎样取，接下来后取者总可以选择适当取法，使之重新变成偶形势，直至最后获胜（如例1和例3）；对于非偶形势，先取者也可以选择适当取法，使之变为偶形势（这时后取者转变为先取者），直至最后获胜（如例2）。游戏参加者必须自始至终设法成为偶形势的后取者，或非偶形势的先取者，这就是两人火柴游戏取胜的诀窍。

上述诀窍对于任意堆火柴的一般情况都适用。例如（3，5，7，9），由于用二进制数表示方法可以判定它是非偶形势，因此先取者必能获胜。

不过，光是懂得这种游戏取胜的诀窍还不行，还得掌握将非偶形势转变为偶形势的方法。

对于任一非偶形势，总可以通过取一次火柴，使它转变为偶形势（一般说来，取的方法不是唯一的）。例如（9，10，5，17），用二进制数表示，可知它是一个非偶形势：

在对应的二进制数表示中，所有个位数中有3个1，第二位有一个1，第三位有1个1，第四位有2个1，第五位有1个1。其中有4个数字不是偶数。不是偶数的最高位是二进制的第五位。在这种情况下，我们可以在包含第五位的D中取走适当的火柴数，使四堆火柴数成为偶形势。取法如下：

用10进制数表示即为（9，10，5，17）→（9，10，5，6），即只要在第4堆中取走9根火柴，得（9，10，5，6）成为偶形势。

又如（13，12，1，7），用二进制数表示为：

所以它也是非偶形势。在对应的二进制数表示中，非偶数的最高位是二进制的第三位。包含第三位1的数有A，B，D三个数，所以有三种取法（在A、B或D中取）都可使四堆火柴数成为偶形势。你们可以自己试一试。

知道了诀窍，又掌握了将非偶形势转化为偶形势的方法，你就可以在游戏中获胜。