怎样计算用淘汰制进行的比赛场数

我们经常会遇到这样的问题：要举行一次球类或者棋类的锦标赛，用淘汰制来进行，应该怎样根据报名的人数来计算比赛的场数，并进行具体安排呢？

让我们看看1961年4月，在我国首都北京举行的第二十六届世界乒乓球锦标赛吧。

第二十六届世界乒乓球锦标赛，报名参加男子单打的有158人，报名参加女子单打的有96人，应该进行多少场比赛？怎样安排这些比赛呢？

因为最后参加决赛的应该是2个人，这2个人应该从2²=4个人中比赛产生，这4个人又应该是从2³=8个人中产生的。这样，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256……如果报名的人数恰巧是2的整数次幂，即2、2²、2³、2⁴、……那么，只要按照报名人数每二人编成一组，进行比赛，逐步淘汰就是了。假如报名的人数不是2的整数次幂，在比赛中间就需要有轮空的。如果我们按照2个人一组安排比赛，有些轮空的将在中后阶段，而中后阶段的比赛，一般实力较强，比赛较紧张，轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了照顾机会比较平均，使比赛越来越热烈，我们总是把轮空的放在第一轮。譬如男子单打报名的是158人，而158大于2⁷，小于2⁸。因为2⁷=128，158-128=30。那么，第一轮应该从158人中淘汰30人，即进行30场比赛。这样第一轮参加比赛的是30组60人，轮空的98人。第一轮比赛后，淘汰30人，剩下128人，从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行64场比赛，第三轮是32场，第四轮16场，第五轮8场，第六轮4场，第七轮2场，第八轮就是决赛，产生冠军和亚军。这样进行的比赛场数一共是：

30+64+32+16+8+4+2+1=157，

恰恰比158少1。

同样，在女子单打比赛中，报名的是96人，96比2⁶大，但比2⁷小；2⁶64，96-64=32，第一轮要淘汰32人，就必须进行32场比赛，第二轮是在64人中进行32场比赛，第三轮是16场，第四轮是8场，第五轮是4场，第六轮是2场，第七轮是决赛。一共比赛的场数是：

32+32+16+8+4+2+1=95，

它比96少1。

不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M人比2ⁿ大，但比2ⁿ⁺¹小，那么，就需要进行n+1轮的比赛，其中第一轮所需要比赛的场数是M-2ⁿ，第一轮比赛淘汰M-2ⁿ人后，剩下的人数为M-(M-2ⁿ)=2ⁿ。以后的n轮比赛中，比赛的场数为：

2^n-1+2^n-2+2^n-3+……+2³+2²+2+1。

而2^n-1+2^n-2+2^n-3+……+2³+2²+2+1

=（2^n-1+2^n-2+2^n-3+……+2³+2²+2+1)×1

=(2^n-1+2^n-2+2^n-3+……+2³+2²+2+1)(2-1)

=(2ⁿ+2^n-1+2^n-2+……+2⁴+2³+2²+2)-(2^n-1+2^n-2+2^n-3+……+2³+2²+2+1)

=2ⁿ-1

所以，一共比赛的场数是(M-2ⁿ)+(2ⁿ-1)=M-1，即比人数少1。

其实，我们还有更简便的方法来说明。每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中，要产生1个冠军就得淘汰M-1人，所以就得比赛M-1场。这不是很明白吗？

如果你们要举办一次象棋（或球类）比赛，报名的是50人，用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？一共赛几轮呢？你会计算吗？