ln√x不定积分 1/√[x(1+x)]定积分

1/√[x(1+x)]定积分  

1/√[x(1+x)]定积分

∫ 1/[√x(1 + x)] dx
令x = u²,dx = 2udu
= ∫ 1/[u(1 + u²)] * 2udu
= 2∫ du/(1 + u²)
= 2arctan(u) + C
= 2arctan(√x) + C

1/(1+x^2)√(1-x^2)定积分

∫dx/[(1+x^2)√(1-x^2)]
let
x= sinu
dx=cosu du
∫dx/[(1+x^2)√(1-x^2)]
=∫du/(1+(sinu)^2)
=(1/2)∫ [sec(u/2)]^2 du
=tan(u/2) + C
= tan( (arcsinx)/2 ) + C

(1+x)/(1+x²)和（-1/x）的不定积分

∫ (1+x)/(1+x^2) dx
=∫ dx/(1+x^2) + ∫ x/(1+x^2) dx
=arctanx +(1/2)∫ d(1+x^2)/(1+x^2)
=arctanx +(1/2)ln|1+x^2| +C
∫ -(1/x) dx
=-ln|x| + C

ln(1+((1+x)/x)^1/2)的不定积分

√((1+x)/x)=√(x²+x)/x
三角换元脱根号令x=secu/2-1/2

1/（1+2x）（1+x^2）的不定积分

令1/[(1 + 2x)(1 + x^2)] = A/(1 + 2x) + (Bx + C)/(1 + x^2)
则1 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 + 2x)
1 = (A + 2B)x^2 + (B + 2C)x + (A + C)
A + 2B = 0、B + 2C = 0、A + C = 1
解得A = 4/5、B = - 2/5、C = 1/5
原式 = (4/5)∫ dx/(1 + 2x) - (2/5)∫ x/(1 + x^2) dx + (1/5)∫ dx/(1 + x^2)
= (4/5)(1/2)∫ d(1 + 2x)/(1 + 2x) - (2/5)(1/2)∫ d(1 + x^2)/(1 + x^2) + (1/5)∫ dx/(1 + x^2)
= (2/5)ln|1 + 2x| - (1/5)ln(1 + x^2) + (1/5)arctan(x) + C

求定积分∫2In （1+x)/(1+x) dx

∫2ln(1+x) *dx/(1+x)
=2∫ln(1+x) * d[ln(1+x)]
=[ln(1+x)]^2 |x = 0 →1
=(ln2)^2

求定积分1到e之间1/（1+x） dx

=∫(1/(x+1)) dx = In|x+1|=In((e+1)/2)

求y=1/(1+x^n)的不定积分

x^n+1在复数域内有n个根，如果n为奇数，则有一个实根和(n+1)/2对共轭复根，如果n为偶数，则有n/2对共轭复根。因此这个积分的形式是
n奇数=ln(1+x)+Σa(k)arctan(b(k)x+c(k))+C
n偶数=Σa(k)arctan(b(k)x+c(k))+C

(1+x)/x*(1+x*e^x)的不定积分

∫ (1 + x)/[x(1 + xe^x)] dx
= ∫ [(1 + x) + xe^x(1 + x) - xe^x(1 + x)]/[x(1 + xe^x)] dx
= ∫ [(1 + x)(1 + xe^x) - x(e^x + xe^x)]/[x(1 + xe^x)] dx
= ∫ (1 + x)/x dx - ∫ (e^x + xe^x)/(1 + xe^x) dx
= ∫ dx + ∫ 1/x dx - ∫ 1/(1 + xe^x) d(xe^x)
= ∫ dx + ∫ 1/x dx - ∫ d(1 + xe^x)/(1 + xe^x)
= x + ln|x| - ln|1 + xe^x| + C
= x + ln|x/(1 + xe^x)| + C

定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx

解：∫<0,1>[ln(1+x)/(1+x²)]dx=∫<0,π/4>[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz (令x=tanz)
=∫<0,π/4>ln(1+sinz/cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[(sinz+cosz)/cosz]dz
=∫<0,π/4>[ln(sinz+cosz)-ln(cosz)]dz
=∫<0,π/4>ln(sinz+cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[√2sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(√2)dz+∫<0,π/4>ln[sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫<π/4,0>ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
(在第二个积分中，令z=π/4-y)
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosy)dy-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
(在第一个积分中，令z=y)
=πln2/8