弧度制弧长公式 弧度制详细资料大全

弧度制详细资料大全  

用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，叫做弧度制，用符号rad表示，读作弧度。等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。另外一种常用的度量角的方法是角度制。弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

基本介绍

中文名：弧度制外文名：radian measure表达式：1°=π/180 rad提出者：Roger Cotes提出时间：1714套用学科：数学适用领域范围：三角函式单位：rad 发展历程,基本思想,任意角与角度制,任意角,角度制,换算,有关公式,弧长公式,面积公式,相关物理量,角速度,周期,意义,

发展历程

在研究弧度制发展时，我们必须谈到三角学和角，因为弧度制是依托它们二者存在的。依据三角学在数学研究中的地位，笔者认为三角学的发展可以分为萌芽阶段、传播阶段和确立阶段三个阶段。萌芽阶段从公元前约300年古巴比伦时期开始到公元640年希腊古代数学落幕为止，这段时期由于天文学的需要，三角学受到学者们的重视，它是天文学的一部分；传播阶段从公元640年希腊古代数学落幕后到15世纪文艺复兴开始前为止，这段时期三角学在不同地区传播，虽然其研究内容本质与萌芽阶段时相比没有区别，但它逐渐脱离天文学，成为了数学的一个分支；确立阶段是从文艺复兴开始至今，在微积分等新兴数学力量的崛起下，三角学逐渐成为了其他数学分支中的一部分，而在此期间，弧度制成为了度量角的主要单位。 18世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函式的。弧度定义的提出，是数学家Roger Cotes在1714年提出的，作为一种对角度的描述，使得对三角函式的研究大为简化。中学数学教科书中都把radian译作“弧度”。 1881年，学者哈尔斯特(G．B．Halsted)等用希腊字母ρ表示弧度的单位．1907年，学者包尔（G．N．Bauer)用r表示；1909年，学者霍尔(A．G．Hall)等又用R来表示，例如将单位弧度（角度制1°）写成（π/180）rad，人们习惯把弧度的单位省略。

基本思想

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

任意角与角度制

任意角

在任意一个角一边所对应的射线情况下，逆时针旋转所形成的角称为正角；顺时针转动所形成的角称为负角；射线未作任何旋转，仍留在原来位置，那么我们也把它看成一个角，叫做零角。这样，就可以将角由优角、劣角扩展到任意角。 如果用弧度制表示，正角的弧度值是一个 正值（正实数），负角的弧度值是一个负值（负实数），零角的弧度值是零。因此，弧度制能使角的集合与实数集合R存在一一对应关系：每一个角都对应唯一一个确定的实数。

角度制

就是用角的大小来度量角的大小的方法。在角度制中，我们把周角的1/360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度。由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量。

换算

一个完整的圆的弧度是2π，所以： 2π rad = 360°，1 π rad = 180°，1°=π/180 rad ，1 rad = (180/π)°≈57.30°=57°18ˊ

有关公式

弧长公式

上式中，l为弧长，α为角度（弧度制），r为半径。 推导：由弧度定义 得

面积公式

上式中，S为面积，α为角度（弧度制），r为半径。 推导：（角度制角度为n°）由 ，将 α代入，得到

相关物理量

角速度

做圆周运动（不一定匀速率）的物体在单位时间内所走的弧度即为角速度。符号：ω，单位：弧度每秒（rad/s）。定义公式： (α为所走过弧度，t为时间）。 由角速度、线速度（速率）的定义公式及弧长公式可以推出角速度与线速度的关系式： （r为半径）

周期

做周期运动（匀速圆周运动、简谐运动等）的物体完成一次周而复始的运动所需的时间即为周期。符号：T，单位：秒（s）。 在 匀速圆周运动中，周期T与角速度ω有关，关系式为 。

意义

弧度制之所以能成为当今数学主要的角的单位制度，主要原因有二： (一)使进位制统一。在古巴比伦以及古希腊时期，数学家在研究天文学问题时，普遍习惯使用60进制对角进行度量，为了进位制的统一，也用60进制度量弦长和弧长。此时，角度制满足了这种需求。而随着历史的发展，10进制取代了60进制成为了度量长度的主要进位制。为了保持进位制的统一，自然地也将角的进位制换成10进制。弧度制满足了这一需求，而且可以与角度制进行一一对应的换算，与原有数学系统相容．这样，在查阅三角函式表时就可以看到用统一进位制表示的数，便于数与数之间的对比，提高解决问题的效率。 (二)简化微积分创立后公式的计算．弧度制大约直到18世纪才被提出来，它的提出是受到微积分等近代数学发展的推动的。在弧度制下，与三角函式有关的一些公式在形式上均比角度制下有很大的简化。正是因为这样的优越性，弧度制才逐渐被数学界普遍接受和广泛使用。