为什么六人集会时至少有三人彼此认识或不认识

世界上任意的六个人，其中必定至少有三个人互相认识，或者至少有三个人互不认识。这结论看起来很不可能，但是通过简单的分析，就知道这是必然会发生的现象。

我们尝试用染色的图来表示人际关系。用一个点来代表每一个人，在每一对点之间都连一条边，这样就构成了一幅图。我们把这种每对顶点之间都有一条边的图称为完全图。对于每一条边，如果两个端点代表的人互相认识，我们就将它染成红色，否则染成蓝色。三个互相认识的人，在图上就是一个三边都是红色的三角形；三个互不认识的人则是蓝色三角形。

每对顶点之间都有一条边的图，称为完全图

考虑任意一个顶点$A$，根据抽屉原理，$A$连接的5条边中，至少有3条的颜色是相同的。不失一般性，不妨假设有3条红色的边，分别连接到$B$、$C$、$D$三个点。如果这三个点组成的三角形至少有一条红色的边，那么这条边的两个端点与$A$就组成一个红色三角形；否则$B$、$C$、$D$之间连接的边都是蓝色，这就意味着$BCD$是一个蓝色三角形。这样图中要么必定有一个红色三角形，要么必定有一个蓝色三角形。翻译成日常语言，就是六个人中，要么必定有三个人互相认识，要么必定有三个人互不认识。

英国数学家拉姆齐在1926年发表的一篇关于逻辑的论文中，就已证明了一个更一般的结论：对于任意给定的自然数$n$，$k$，当$N$足够大时，对有$N$个顶点的完全图的边染上红色或蓝色，无论染色方案如何，要么有$n$个顶点，它们之间的边都是红色；要么有$k$个顶点，它们之间的边都是蓝色。满足这个条件的最小的N被称为拉姆齐数R($n$,$k$)。这个定理被称为拉姆齐定理。

英国数学家拉姆齐

这个定理开创了现在被称为“拉姆齐理论”的数学分支。这个数学分支告诉我们，没有完全无序的系统。只要系统足够大，无论在整体上看是多么无序，总会有一些局部是有序的。拉姆齐理论不仅在离散数学和计算机科学中有着各种各样的应用，它还与数理逻辑——一门研究数学的逻辑基础的数学分支——有着紧密的联系。

拉姆齐理论中有很多仍未解决的问题，求解拉姆齐数R($n$,$k$)的准确值就是其中之一。目前数学家只确定了16个非平凡的拉姆齐数的准确值，其中最大的是R(3,9)=36。关于这个问题的难度，匈牙利数学家埃尔德什有一个很好的比喻：如果高度发达的外星文明入侵地球，威胁地球人在一年内交出R(5,5)的值，否则就毁灭地球，最好的应对方法是集所有数学家和计算机之力来求出R(5,5)的值；如果要求的是R(6,6)的值，与外星人决一死战可能是更务实的选择。值得一提的是，在确定拉姆齐数下界的工作上，中国数学家也做出了不少重要的贡献。