为什么能用四个砝码称出1～40之间任意整数克物体

用天平称量物体的质量，砝码是必不可少的。那么，如果只有四个砝码能称出多少种质量呢？

按照天平正常的使用方法，左盘放置被称量的物体，右盘放置砝码，而每个砝码只有两种可能的使用方法：要么被放在右盘，要么没有被放置。所以四个砝码一共有$2^4=16$种不同的配置方法。除去没有使用任何砝码的一种情况，四个砝码最多只能称量出15种质量。但1～40之间一共有40种整数质量需要称量，所以在正常使用天平的前提下，这是个不可能完成的任务。

不过，如果我们放宽要求，允许两个托盘都放置砝码的话，四个砝码能称量的质量会变得更多。这时，我们可以把砝码放在左盘、右盘或者不使用它。每个砝码有这三种可能使用方法，4个砝码就一共有81种配置方法，除去没有用到砝码的一种情况，还剩下80种配置方法。但由于天平的左右对称性，实际上不同的配置方法只有40种，正好能够对应1～40克之间的40种整数克质量。为了达到所要求的效果，在尝试选取不同质量的砝码时，应当避免某种质量可以被几种不同配置的砝码称量的情况。用试错法容易知道，1、3、9、27克的砝码没有重叠的配置结果，恰好能称出所要求的质量。

砝码

 这种通过估算所有可能性来推测某个任务能否完成的方法，在计算机科学中，特别在算法的下界分析中非常有用。