椭圆与积分 积分割槽域x^2+y^2

[af(x)+bf(y)/f(x)+f(y)]的二重积分 积分割槽域为x^2+y^2<=R^2

记S＝二重积分_D f(x)dxdy/(f(x)+f(y))
注意到x，y的轮换对称性，因此
S＝二重积分_D f(y)dxdy/(f(x)+f(y))
两式相加知道
S＝0.5×二重积分_D 1dxdy
＝0.5pi*R^2.
于是所求积分=(a+b)pi*R^2/2。

求二重积分∫∫√(x2+y2)dxdy其中积分割槽域{(x,y)|x2+y2<=2x,0<=y<=x} 求解。。

用极座标来解吧，
令x=r*cosθ，y=r*sinθ
那么显然√(x²+y²)=r，
由x²+y²≤2x可以得到
r²≤2r*cosθ即r≤2cosθ
故r的范围是0到2cosθ
而0≤y≤x，
则0≤sinθ≤cosθ
所以θ的范围是0到π/4
那么
∫∫√(x²+y²)dxdy
=∫∫ r² dr *dθ
=∫(上限π/4，下限0)dθ *∫(上限2cosθ，下限0) r² dr
=1/3 *∫(上限π/4，下限0) (2cosθ)^3dθ
=8/3 *∫(上限π/4，下限0) (cosθ)^3dθ
=8/3 *∫(上限√2 /2，下限0) cos²θ d(sinθ)
=8/3 *∫(上限√2 /2，下限0) 1 -sin²θ d(sinθ)
=8/3 *[sinθ - 1/3 *(sinθ)^3] 带入sinθ的上限√2 /2和下限0
=10√2 /9

求·二重积分∫∫(x+y)^2dxdy,其中积分割槽域D:x^2+y^2≤4

∫∫(x+y)^2dxdy=∫∫(x²+y²+2xy)dxdy=∫∫(x²+y²)dxdy
(这里由于函式2xy关于x为奇函式, 区域D关于y轴对称, 所以∫∫2xydxdy=0)
=∫[0,2π]dθ∫[0,2]r²×rdr=2π×r^4/4|[0,2]=8π
这里用了极座标

求二重积分∫∫dxdy，积分割槽域为2x≤x²+y²≤4

D: 圆 (x-1)^2+y^2=1之外，圆 x^2+y^2=4之内。
根据二重积分的性质
∫∫dxdy=S<D>= π(2^2-1^1)=3π.

计算二重积分e^(-2x2-2y2)dxdy ，其中积分割槽域D：x2+y2<=4 附图

令x=2rsint,y=2rcost
则积分变为：e^(-8r^2)dxdy=e^(-8r^2)(2cost)(-2sint)drdt=-4e^(-8r^2)dr*costsintdt,r从0到1，t从0到2pi，你积一下就好了。

求根号y的二重积分，积分割槽域为：y=x，y=根号下【2x-（x的平方）】

由条件可得
y=x
y=√(2x-x²)
解此方程组可得
x1=0,y1=0
x2=1,y2=1
∫∫√ydxdy=∫(0,x)[∫(x,√(2x-x²))√ydy]dx=∫(0,x)[2y√y/3|(x,√(2x-x²)]dx==∫(0,x)2[(2x-x²)^0.75]/3-2x√x/3 dx

二重积分x2-y2/x2+y2dxdy积分割槽域为x2+y2≤1

这个不用算的
因为x^2 + y^2 = 1关于x轴和y轴都对称(就是轮换对称)
所以有∫∫ x^2 dxdy=∫∫ y^2 dxdy
于是∫∫ (x^2-y^2)/(x^2+y^2) dxdy
= ∫∫ (x^2-x^2)/(x^2+y^2) dxdy
= 0
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求x^2+y^2的二重积分,积分割槽域为x^4+y^4<=1

这种题型要利用积分割槽域的对称性和被积函式的奇偶性来解决.
1、被积函式可以看成根号下(x^2+y^2)和y两个函式,前者利用极座标解决,后者由于y是奇函式,而积分割槽域为x^2+y^2=4和(x+1)^2+y^2=1所围成关于x轴对称,故二重积分y=0.
对于前者的积分可以分开在两个区域（x^2+y^2=4和(x+1)^2+y^2=1）里积分,然后做差即可.