设x的密度函数为f(x) 判断函数f（x）=1x2?1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明

判断函数f（x）=1x2?1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明  

判断函数f（x）=1x2?1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明

函数f（x）=

1 x2?1

在区间（1，+∞）上的单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）
=

1 x12?1

-

1 x22?1

=

x22?x12 (x12?1)(x22?1)

=

(x2?x1)(x2+x1) (x12?1)(x22?1)

，
∵x1＜x2，∴x2-x1＞0，
又∵x1，x2∈（1，+∞），
∴x2+x1＞0，x12?1＞0，x22?1＞0，
∴

(x2?x1)(x2+x1) (x12?1)(x22?1)

＞0，即f（x1）＞f（x2）
由单调性的定义可知函数在区间（1，+∞）上的单调递减．

判断函数f(x)=1/x的平方-1在区间 (1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明。

设x1=x0+delta，delta〉0，则 x1<x0
f(x1)-f(x0)=1/x1^2-1/x0^2=1/(x0+delta)^2-1/x0^2
=(x0^2-x0^2-delta^2-2delta*x0)/(x0^2*(x0+delta)^2)
=(-delta^2-2delta*x0)/(x0^2*(x0+delta)^2))
由于delta〉0，且x属于（1，+无穷）
所以以上f（x1）-f(x0)<0，单调减成立

证明完成，接下来你可以考虑证明单调减的极限0

已知函数f(x)=x-1/x+2 判断函数f(x)在区间（-2,-∞）上的单调性,并利用单调性的定义证明

f(x)=(X+2-3)/(X+2)=1-3/(X+2)

当X>-2时，(X+2)递增，3/(X+2)递减，-3/(X+2)递增。
∴f(X)在 (-2，+∞)上递增。

证明：设X1<X2，
则f(X1)-f(X2)
=3/(X2+2)-3/(X1+2)
=3(X1+3-X2-3)/[(X1+2)(X2+2)]
=3(X1-X2)/[(X1+2)(X2+2)]
当X1、X2>-2时，
X1-X2>0、X1+2>0，X2+2>0
∴f(X1)-f(X2)>0,
∴f(X)为增函数。

判断函数f（x）=x+1x?1在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明

f（x）=

x+1 x?1

＝

x?1+2 x?1

＝1+

2 x?1

；
通过解析式可以看出，当x增大时，f（x）减小，所以f（x）为减函数，下面用定义证明：
证明：设x1＜x2＜0，则：
f（x1）-f（x2）=

2 x1?1

?

2 x2?1

＝

2(x2?x1) (x1?1)(x2?1)

；
∵x1＜x2＜0，∴x2-x1＞0，x1-1＜0，x2-1＜0；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．

判断函数f(x)＝2xx?1在区间(1，+∞)上的单调性，并用定义证明

函数f(x)＝

2x x?1

在区间(1，+∞)是单调减函数．理由如下：
设1＜x1＜x2，f（x2）-f（x1）=

2x2 x2?1

-

2x1 x1?1

=

?2(x1+x2) (x1?1)(x2?1)

因为1＜x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，
所以f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）
所以f(x)＝

2x x?1

在区间(1，+∞)是单调减函数．

判断函数f（x）=x-1/x在区间（0，+∞）上的单调性，并用定义证明

单调递增。
设 X"＞X＞0 则X"-X＞0
f(X")-f(X)=X"-1/X"-(X-1/X)
=(X"-X)+(X"-X)/XX">0
所以函数在区间…上是增函数

判断函数f（x）=x-1x在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明

函数f（x）=x-

1 x

在区间（0，+∞）上的单调性是单调增函数．
证明如下：设0＜x1＜x2＜+∞，
则有f（x2)?f(x1)＝x2?

1 x2

?(x1?

1 x1

)＝(x2?x1)+(

1 x1

?

1 x2

)-f（x1）=x2-

1 x2

-x1+

1 x1

=（x2?x1)+(

x2?x1 x1?x2

)＝(x2?x1)(1+

1 x1?x2

)＝(x2?x1)(

x1x2+1 x1?x2

)

1+x1x2 x1x2

．
∵0＜x1＜x2＜+∞，x2-x1＞0且x1x2+1＞0，x1x2＞0，
所以f（x2）-f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）．
所以函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

判断y=1-2X^2在（0，+无穷）上的单调性，并用单调性定义证明

单调递减。令X1＜X2,则Y1-Y2=1-2X1^2-（1-2X2^2）=-2（X1^2-X2^2）。X1^2-X2^2＜0.所以Y1-Y2＞0所以Y1＞Y2。所以单调递减

判断函数y=1/x+x在区间[-2,-1)上的单调性,并用定义证明之

y=1/x+x在[-2,-1)上是增函数。证明如下：
设f(x)=1/x+x,-2<=x1<x2<-1,
∴x2-x1>0,x1x2>1,
∴f(x1)-f(x2)=1/x1+x1-(1/x2+x2)
=(x2-x1)/(x1x2)+x1-x2
=(x2-x1)(1-x1x2)/(x1x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴y=1/x+x在[-2,-1)上是增函数。

判断函数y=x+1/x在（1，+∞ ）上的单调性，并用定义证明

双沟函数…………
我记得上课的时候老师讲了半天最后还是没听懂
单调递增
我用最基本的方法证明;
设X1大于X2大于1
f(X1)-f(X2)=X1-X2-(1/X2-1/X1)
=X1-X2-[(X1-X2)/X1X2]
提取X1-X2
=(X1-X2)(1-1/X1X2)
=(X1-X2)[(X1X2-1)/X1X2]
接下来简单了
因为X1大于X2大于1
所以X1X2大于1（废话），X1X2-1大于0（还是废话）X1-X2大于0（更是废话）
带入上面最后一步，得到f(X1)-f(X2)大于0
又因为X1大于X2大于1
所以F(X)在（1，+∞ ）上单调递增
（看我不容易给你作出来了，多给点分吧）
我说楼上的猜都猜出来了这个单调递增，真够笨的