已知函数f(x)=e^x 已知函式f(x)=x/（x-1） （1）用函式单调性定义证明f(x)=x/（x-1）在(1,+∞)上是单调减函式

已知函式f(x)=x/（x-1） （1）用函式单调性定义证明f(x)=x/（x-1）在(1,+∞)上是单调减函式  

已知函式f(x)=x/（x-1） （1）用函式单调性定义证明f(x)=x/（x-1）在(1,+∞)上是单调减函式

已知函式f(x)=x/(x-1)
(1)用函式单调性定义证明f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函式
x≠1
x1<x2 x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=x1/(x1-1)-x2/(x2-1)
=[x1(x2-1)-x2(x1-1)]/[(x2-1)(x1-1)]
=-(x1-x2)/[(x2-1)(x1-1)]
x1>1
x1-x2<0
(x2-1)(x1-1)>0

f(x1)-f(x2)>0

f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函式

(2)求函式f(x)=x/(x-1)在区间[3,4]上的最大值与最小值
f(x)=x/(x-1)在(1,+∞)上是单调减函式
f(3)=3/(3-1)=3/2 最大值
f(4)=4/(4-1)=4/3 最小值

已知函式f（x）= x x-1 ．（1）用函式单调性定义证明 f(x)= x x-1 在（1，+∞）上

（1）证明：设x 1 ，x 2 为区间（1，+∞）上的任意两个实数，且1＜x 1 ＜x 2 ，
则f（x 1 ）-f（x 2 ）=

x 1 x 1 -1 -

x 2 x 2 -1

=

x 2 -x 1 (x 1 -1) (x 2 -1)

∵1＜x 1 ＜x 2 ，∴x 2 -x 1 ＞0，x 1 -1＞0，x 2 -1＞0，
∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0
∴f（x 1 ）＞f（x 2 ）
∴ f(x)=

x x-1

在（1，+∞）上是单调减函式
（2）由（1）可知，函式 f(x)=

x x-1

在[3，4]上为单调递减函式
所以在x=3时，函式 f(x)=

x x-1

取得最大值

3 2

；在x=4时，函式 f(x)=

x x-1

取得最小值

4 3

．

已知函式f（x）=xx?1．（1）用函式单调性定义证明f(x)＝xx?1在（1，+∞）上是单调减函式；（2）求函式f(x

（1）证明：设x1，x2为区间（1，+∞）上的任意两个实数，且1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=

x1 x1?1

-

x2 x2?1

=

x2?x1 (x1?1)(x2?1)

∵1＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f(x)＝

x x?1

在（1，+∞）上是单调减函式
（2）解：由（1）可知，函式f(x)＝

x x?1

在[3，4]上为单调递减函式
所以在x=3时，函式f(x)＝

x x?1

取得最大值

3 2

；在x=4时，函式f(x)＝

x x?1

取得最小值

4 3

．

已知函式f（x）=1?x1+x，x∈（-1，1）．（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（-1，1）上是单调减函式；（

（1）证明：任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=

1?x1 1+x1

-

1?x2 1+x2

=

2(x2?x1) (1+x1)(1+x2)

，
又∵x1，x2∈（-1，1），x1＜x2，
∴（1+x1）（1+x2）＞0，
x2-x1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在x∈（-1，1）上是单调减函式．
（2）∵y=x2-3x+2=（x-2）（x-1）在（-1，1）上单调递减且恒有y＞0，
不等式f（x）≥a（x2-3x+2）对于任意x∈（-1，1）恒成立，
即为a≤

f(x) x2?3x+2

，对于任意x∈（-1，1）恒成立，
令g（x）=

f(x) x2?3x+2

=

1?x 1+x (x?2)(x?1)

=

1 ?(x+1)(x?2)

，
当x=

1 2

时取得最小值，g（

1 2

）=

4 9

，
所以a的取值范围是a≤

4 9

．

利用函式单调性定义证明f（x）=x+4x+1在（0，1]上是单调减函式

?0＜x1＜x2≤1，
则f（x1）-f（x2）=x1+

4 x1+1

?(x2+

4 x2+1

)=（x1-x2）+

4(x2?x1) (x1+1)(x2+1)

=(x1?x2)(1?

4 (x1+1)(x2+1)

)．
∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜（x1+1）（x2+1）＜4，
即1?

4 (x1+1)(x2+1)

＜0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）=x+

4 x+1

在（0，1]上是单调减函式．

用函式单调性定义证明fx=x／x-1在（1，正无穷）上是单调减函式。

证明：
f(x)=x/(x-1)=1+1/(x-1)
在(1，+∞)上任取x1,x2
设1<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=1+1/(x1-1)-1-1/(x2-1)
=1/(x1-1)-1/(x2-1)
=(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)]
因为x1<x2<1
所以 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0
所以 f(x1)-f(x2)>0
所以 f(x1)>f(x2)
所以 函式f(x)=x/(x-1)在（1，正无穷）上是单调减函式

已知函式f〔x〕＝log1/2 〔1－x/2〕，用函式单调性定义证明函式f〔x〕在区间〔－∞，2〕上是单调增函式.

令y=x+1 则x=y-1 f(y)=(y-1)² 即f(x)=(x-1)² 取任意的x1,x2且x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=(x1-1)²-(x2-1)²=(x1-x2)(x1+x2-2)
∵x1<x2<1，∴x1-x2<0,x1+x2<2
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)>0
即f(x1)>f(x2)
即

用函式单调性定义证明：函式f(x)＝x＋1／x在(-1,0)上是减函式

对任意-1<a<b<0
f(a)-f(b)=a+1/a-b-1/b=(a-b)+(1/a-1/b)=(a-b)(1-1/ab)=(a-b)(ab-1)/ab
a-b<0
0<ab<1
所以f(a)-f(b)=(a-b)(ab-1)/ab>0
f(a)>f(b)
所以f(x)在(-1,0)上是减函式

已知函式f（x）= (2-x)/(x+1) ． （1）用单调性的定义证明：函式f（x）在（-...

1、先把f(x)降次，会更简便。
证明：设-1<x1<x2 ,则由f（x）= (2-x)/(x+1) =-1+3/(x+1)
可得：f(x2)-f(x1)=[-1+3/(x2+1)] -[-1+3/(x1+1)] =3(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
由于-1<x1<x2，所以x1-x2<0 ,x1+1>0,x2+1>0,
从而f(x2)-f(x1)<0即f(x2)<f(x1)
所以函式f（x）在（-1，+∞）上为减函式
2、由y=1/x的对称中心是（0,0）可知，f（x）=-1+3/(x+1) 的对称中心为（-1，-1）
3、假设存在负数x0，使得f（x0）=-1+3/(x0+1)= 3x0，则有3x0^2 +4x0 -2=0
解得x0=1/3 或x0=-1/2
由x0为负数可知，x0=-1/2 。
从而，存在负数x0=-1/2，使得f（x0）=3x0成立

已知函式f(x)＝x?1x，x∈（0，+∞）．（1）用函式单调性的定义证明：f（x）在其定义域上是单调增函式；（

（1）任取x1，x2∈（0，+∞）．令x1＜x2
f（x1）-f（x2）=x1?

1 x1

-（x2?

1 x2

）=（x1-x2）+（

1 x2

-

1 x1

）=（x1-x2）×（1+

1 x1x2

）
∵x1，x2∈（0，+∞）．x1＜x2
∴x1-x2＜0，1+

1 x1x2

＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）在其定义域上是单调增函式；
（2）由（1）证明知f（x）在其定义域上是单调增函式，又f（3x-2）＞f（9x），
∴3x-2＞9x，即3x-2＞32x，
∴x-2＞2x，得x＜-2
x的取值范围是x＜-2