为什么太阳系的所有行星都有一个共同的“魔幻数”

由开普勒第三定律能推导出一个十分有趣的数值，法国天体物理学家沙隆日把它称为“魔幻数”。对于确定的中心天体，比如太阳，若选取一定的时间单位和距离单位，这个数就是一个确定的常数$K$。在太阳系里，选择年作为计量时间的单位，天文单位（即太阳到地球的平均距离，约等于1.496亿千米）作为计量距离的单位。由开普勒第三定律的公式 $$\frac{P_1^2}{a_1^3}=\frac{P_2^2}{a_2^3}=常数，$$ 以地球环绕太阳运行的数据$P=1$年，$a=1$天文单位代入，可得$K=1$。它就是太阳系的开普勒魔幻数。我们可以用这个关系式来求太阳系任何一个行星到太阳的距离，只要测定它的公转周期即可。以木星为例，它的公转周期是12年。 由上式得 $$\frac{12^2}{a_{木星}^3}=1，$$ 因此 $$a_{木星}^3=12^2=144，$$ 于是 $$a_{木星}＝\sqrt[3]{144}≈5.2（天文单位）。$$

如果取地球为中心天体，以小时为时间单位，以万千米为距离单位，那么地球的魔幻数$K=7.6$。这个魔幻数适用于环绕地球运行的一切卫星。以月球为例，它的公转周期$P_{月球}$为27.32天。用小时计量相当于 $$P_{月球}=27.32天×24小时=656小时，$$ $$\frac{P_{月球}^2}{a_{月球}^3}=7.6=\frac{(656)^2}{a_{月球}^3}$$ 因此 $$a_{月球}^3=656^2/7.6=56 623。$$

求上列结果的立方根就得到月球与地心的距离： $$a_{月球}^3=\sqrt[3]{56623}=38.4万（千米）。$$

现在请注意距离的计量单位，我们选择了1万千米。因此38.4就是38.4万千米，结果非常接近于实际的地月距离。

如果把一颗人造卫星发射到空间，使它在赤道上空“停留”在我们的头顶上（即所谓的地球同步卫星），它的周期就应该与地球的自转周期一致；因此$P_{卫星}=24小时$。根据地球的开普勒魔幻数就可以知道这个卫星的高度，但要注意这是卫星到地心的距离，因此要再减去地球赤道半径6378千米。答案是35 941千米，即约3.6万千米。