1=0吗

谁都知道1不可能等于0，1=0这个算式是不可能成立的。但是，我们却可以用一种方法来“证明”1=0这一个荒谬的结论。

把无限多个1和无限多个-1，一个隔一个地用“+”号列成一个算式：

1+（-1）+1+（-1）+1+（-1）……。

这个算式里的这些加数是可以无限地延续下去的，通常把它叫做一个无限级数，算式里每一个数1或-1叫做它的一个项。从第一个1开始的各项，顺序叫做第1项、第2项、第3项……。在这个级数里，当项数是奇数时，这一项是1，项数是偶数时，这一项是-1。这个事实可以用符号（-1）ⁿ⁺¹（n是自然数）来表示，叫做这个无限级数的一般项（或通项），无限级数可以表示成1+（-1）+1+（-1）……+（-1）ⁿ⁺¹……。

现在我们来作一个“证明”。

〔证明〕∵1+（-1）+1+（-1）……+（-1）ⁿ⁺¹+……=1+（-1）+1+（-1）……+（-1）ⁿ⁺¹+……

（等量等于等量）

左边=1+（-1）+1+（-1）……+（-1）ⁿ⁺¹……

=1+[（-1）+1]+[（-1）+1]+……

（加法结合律）

=1+0+0+……

=1

右边=1+（-1）+1+（-1）……+（-1）ⁿ⁺¹……

=[1+(-1)]+[1+(-1)]……

（加法结合律）

=0+0+0+……

=0

∴1=0

（等量代换）

上面这个“证明”，在推演过程中，除掉简单的计算以外，每一步都写出了根据。这样得出的结果，按理来说应该是正确的，但是，为什么会得出1=0这样一个荒谬的结论呢？问题就在于推演过程中我们错误地运用了那个加法运算的结合律。

我们都知道，加法运算和乘法有以下这五个基本运算定律：

（1）加法的交换律 a＋b=b+a，

（2）加法的结合律 （a+b)+c=a+(b+c)，

（3）乘法的交换律 a×b=b×a，

（4）乘法的结合律 （a×b)×c=a×(b×c)，

（5）乘法对加法的分配律 （a+b)×c=a×c+b×c。

这些运算定律，不管式中的字母代农什么样的数（自然数、分数、有理数……），它们都是正确的，并且还可以推广到一般的情况，例如n个数相加，可以把其中的任何两个数互相交换，或者把其中几个数先行结合起来相加，然后再把所得的和相加等等。但是，应该注意，这祖所说的n个数相加是指将限个数相加，做加法的次数是有限的。对于有限次数的加法或乘法运算来说，上面所说的五个基本定律确实是正确的。

我们刚刚搞的那个“证明”，需要把无限多个数1和-1相加起来，加法运算就得无限次数地做下去。对于无限次数的加法运算，加法结合律是不是仍旧适用，还没有验证过。现在，我们冒冒失失地把在有限次数的加法运算中成立的结合律，不加验证地就套用到无限次的加法运算上去，这样，就自然得出象1=0这样错误的结果。