怎样用直尺画出正五边形的近似图形

你能用直尺画出一个正五边形的近似图形吗？

我国劳动人民在生产实践中，积累了许多宝贵的经验，创造了很多简捷的绘图方法。这些方法既好记，又好画。

有一次，一位木匠师傅问我：“你知道公园中的五角亭是怎样盖起来的吗？”

我不知道，虚心向他求教。

他说：“盖五角亭，我们相传下来有两句口诀，这就是：

‘一六中间坐，二八分两旁。’

按这口诀就能用直尺作出一个五角形，然后在上面立柱……”

什么叫做“一六中间坐”呢？就是取1个单位长的线段AB（即AB等于1），然后在AB的中点F，作垂直线FGD，长度是1.6，其中FG的长度是1，GD的长度是0.6（如后图），这就是一六中间坐。再通过G作平行于AB的线EGC，而EG和GC各为0.8，这就是二八分两旁。连结BC、CD、DE、EA，就得到一个正五边形的近似图形。

尽管这样得到的五边形不是真正的正五边形，却是一个非常良好的近似图形。不妨来看看它精确到怎样的程度。

由勾股定理，可知DE和DC的长度都是1，AE和BC的长度都是1.044。所以，从长度来讲，把它同正五边形的五个边比较一下，知道它们有三边相同，还有两边也不过是相差4.4%，在实际盖亭子的时候，这是个很小的数字。

再来看看它们的角度，正五边形的每个角度是108°，而在所得到的近似的五边形中，∠EAB=∠ABC=106°42′，仅比108°小1°18′；而∠EDC=106°16′，比108°小1°44′；∠AED=∠BCD=110°10′，比108°大2°10′。这些相差的角度有多大呢？拿2°10′来讲，也不过是钟表面上1分钟的三分之一那么大小；与108°比较，相对误差不过是2%，这可以说是相当精确的了。

我们再从每边边长为1的正五边形PQRST出发（如左图），取PQ的中点V，连结VS，TR与VS交于W。

通过计算，可知：

SW==0.588，

WT=+1)=0.809，

WV==0.951。

从这里可以看出，前面所说的近似图形，就是将SW、WT、WV用四舍五入的办法取小数后一位的近似值，就得出了“一六中间坐，二八分两旁”的结果。因此，用这两句口诀来作五边形，能跟正五边形很接近。

后来，又听到了作正五边形的近似图形的两句更精确的口诀，这就是：

“九五顶五九，二八两边分。”

意思就是：先取单位长HJ，在HJ的中点N作垂线NOL，其中NO为0.95，LO为0.59，然后通过0作HJ的平行线MOK，其中MO和OK为0.8，连结HM、ML、LK、KJ，图形HJKLM就是正五边形的近似图形（如下图）。与上页的PQRST正五边形相比，LO和ON实际上是SW和WV的值用四舍五入的办法取两位小数的近似值。

通过计算，可以知道：

HJ=1；

ML=LK=0.994；

MH=JK=0.996。

而 ∠MLK=107°11′，

∠KJH=∠JHM=107°31′，

∠LMH=∠LKJ=108°53′。

从长度来讲，误差不过是千分之六。从角度来讲，误差最多不过是53′，不超过1°。

这里还启发了我们，如果对TW和WR的值也用四舍五入的办法取两位小数的近似值，还可以得到更进一步的结果。也就是，如果我们取

MO=OK=O.81，

而 L0=0.59和ON=0.95

依旧保持，那么，口诀也可以改为：

“九五顶五九，八一两边分。”

这时，

ML=LK=1.0021，

MH=JK=0.9993。

而 ∠MLK=107°52′，

∠KJH=∠JHM=108°4′，

∠LMH=∠LKJ=108°0′。

从长度来讲，误差仅为千分之二，从角度来讲，误差最多不过8′，精确的程度应该说是使人十分满意了。

我们要注意的是；这是一种画近似五边形的方法，也是工人师傅们多年积累的宝贵经验，如果我们要得到真正的正五边形，还得应用正规的绘图方法。