数的运算为什么分三级

数的运算分三级:加法和减法是第一级运算；乘法和除法是第二级运算；乘方和开方是第三级运算。第一级运算是最低级运算；第二级运算比第一级运算高一级，第三级运算是最高级运算，它比第二级运算高一级，比第一级运算高两级。在初级中学，开方一般用得很少，这里谈到第三级运算时，只讲讲乘方。

弄清楚数的运算分三级有什么用呢？只要会算不就行了吗？如果你要算得快而正确，就必须知道运算的顺序和运算的级是有密切关系的。

（一）只含有加法和减法的算式，只要按照从左到右的顺序进行运算就行了。

例1. 132-23+315

＝109+315

＝424。

（二）只含有乘法和除法的算式，也是按照从左到右的顺序进行运算。

例2. 81÷9×13

＝9×13

＝117。

可是，左、右的顺序对于第三级运算来说，是不适用的。例如3⁴里，3和4的位置不是单纯左、右的关系。我们不考虑第三级运算，就可以把上面的（一）和（二）概括成为一条规则：

只含有同级运算的算式，可按照从左到右的顺序进行运算。

（三）含有加法、减法、乘法和除法的算式，就按照先乘、除，后加、减的顺序进行运算。

例3. 312－16÷2x11+14x2÷7

＝312－8×11+28÷7

＝312－88+4

＝224+4

＝228。

这里乘除法是同一级的运算，它们并没有先后的分别，只要按照从左到右的顺序进行运算。同样，加、减法也是同—级的运算，它们也没有先后的分别。

（四）含有加法、减法、乘法、除法、乘方和开方的算式，按照先乘方、开方，后乘除，最后加减的顺序进行运算。

例4. 50-2×3²+8²÷4²

＝50－2×9十64÷16

＝50－18+4

＝32+4

＝36。

因此，上面的（三）可以包含在（四）里，（三）和（四）也可以概括成一条规则：

含有不同级运算的算式，按照从高级运算到低级运算的顺序进行运算。

为什么数的运算要分成这样的三级呢？

运算的性质很多，最根本的有5条，叫做基本运算律，它们是：

（1）加法结合律，（2）加法交换律，（3）乘法结合律，（4）乘法交换律，（5）乘法对于加法的分配律。

我们先看看什么是乘法对于加法的分配律？为什么把它叫做乘法对于加法的分配律？

乘法对于加法的分配律用公式来表示就是：

(a＋b)×c＝a×c＋b×c。 （1）

把这个公式从等式左边看到右边，我们发现等式左边的数c，好象被分配到括号里面去和a相乘，也和b相乘，因此，把它叫做乘法对于加法的分配律。

我们再看看乘法对于加法的分配律是不是基本运算律。

乘法对于减法也有分配律的性质，那就是：

(a-b)×c=a×c-b×c。 （2）

除法对于加法和减法也都有分配的性质，那就是：

(a+b)÷c=a÷c+b÷c。 （3）

（a-b)÷c=a÷c-b÷c。 （4）

公式（1）、（2）、（3）、（4）可以概括成一句话：第二级运算对于第一级运算有分配性质。其中乘法对于加法的分配律是基本的一条，所以叫做基本运算律。

很明显，

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ。 （5）

例如 (3×2)⁴=

=

=3⁴×2⁴。

在（5）式里表示ab自乘次数的n，被分配到a、b上去，因此，我们也可以说，乘方对于乘法有分配性质。

即 （a÷b)ⁿ=aⁿ÷bⁿ。 （6）

例如 （ ）⁴=×××

=

=

因此，我们还可以说，乘方对于除法也有分配性质。

再进一步，我们可以说：第三级运算对于第二级有分配性质。前面我们已经知道.第二级运算对于第一级运算有分配性质。因此，我们最后概括成这样一个性质：高一级运算对较低一级运算有分配性质。但是第三级运算对第一级运算却没有分配性质。知道数的运算分成三级，就可以帮助我们把公式（1）到（6）全记住，而且不致进行错误的运算。

大家都知道，除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

例如 3÷2=3×。

因此，除法运算可以归结成为乘法运算。

学过代数，我们还知道：减去一个数等于加上这个数的相反数。

例如 3-2=3＋（-2）

因此，减法运算又可以归结成加法运算。

根据乘法对于加法的分配律，很容易推出乘法对于减法也有分配性质。

同样，我们还可以根据乘法对于加、减法有分配性质来推出除法对于加、减法也有分配性质等等。

这样，乘法对于加法的分配律叫做基本运算律的道理就更清楚了。

最后，要注意，第三级运算对于第一级运算一般没有分配性质，例如（a＋b)²=a²＋b²是错误的。