“用4张扑克脾算24点”游戏中一共会出现多少种可能情况

很多人喜欢玩“用4张扑克牌算24点”的游戏。这种游戏既有趣味性，又能提高人的敏捷思维能力，属于智能型的扑克游戏。

参加游戏的为四人，具体的玩法是这样的：取出扑克牌中的A，2，3，4，5，6，7，8，9，10四种花色共40张牌，其中A当作数1。玩时不必考虑牌的花色。把牌打乱，理好牌后顺次把牌分发给四人。每人理成一叠，不能看牌，也不能掉换牌的次序。然后游戏正式开始，各人同时翻出自己手中的第一张牌放在桌上。例如，东南西北四人出的牌为方块4、红桃4、方块3和黑桃A。它们分别表示4，4，3，1四个数字。出牌后，要求每人立即按台上牌所代表的四个数字，用加减乘除适当列式（允许加括号），进行心算，使算式的答案恰为24。先列出者为胜。例如4，4，3，1这四个数可列式如下：

4×（4+3-l）=24。当然，还可列成下式：3×（4+4）×1=24。

现在我们要问：在上述游戏中，放在桌上的4张牌可能会出现多少种不同的情况？

由于我们不计牌的花色，也不考虑牌分布的次序，所以上述问题实际上是要求计算在1，2，…，10这十个数字中任取四个数字，并且允许重复选取的组合数。为了便于计算起见，下面我们先对每一组数，例如4，4，3，1，进行如下处理：

（1）把数字按大小次序排列，较小的数字放在左面，较大的数字放在右面，例如，4，4，3，1经重排后为1，3，4，4。

（2）把重排后的四个数字，从左至右每个数字依次加上0，1，2，3，从而得到与之对应的新的一组数。例如（1，3，4，4）这组数，每个数自左至右依次加上0，1，2，3，与之对应的新的一组数为（1，4，6，7）。下面我们列出一些相对应的数组：

可以发现，这样处理以后，不管原数组中的数字是否有重复，对应数组中的数字总是没有重复的。对应数组可以由1，2，…，10，11，12，13，这十三个数字中任意四个不同数字组成。由于1至10这十个数字中，允许重复选取四个数的每一组合，一一对应于1至13这十三个数字中，不重复选取四个数的每个组合，因此1至10这十个数允许重复选取四个数的组合数等于1至13这十三个数中取四个的组合数，即为

$C_{13}^4 = \frac{{13 \times 12 \times 11 \times 10}}{{1 \times 2 \times 3 \times 4}} = 715$。

所以“用4张扑克牌算24点”的游戏中，4张牌可能有的不同情况总共有715种。