如何运用数学方法来进行综合评估

暑假到了，小明想外出旅游。为了选择一个满意的旅游地点，小明给自己提出如下标准，（1）景色要好；（2）费用要适中；（3）时间约一周；（4）旅游条件要好（这里所说的旅游条件是指交通、饮食、起居的情况）。这些标准涉及到四个因素：景色、费用、时间和旅游条件，我们依次记为y₁，y₂，y₃，y₄。

假设有5个旅游点可供小明选择：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅。经过调查研究，小明了解到如下的情况：

在这个表中，有些是用定性的语言来表示，有些是用定量的数字来表示。为了便于比较，要根据各因素的优劣标准，将它们全部转化为相对的数字。例如，对于景色和条件，“很好”可评为100分，“好”评为90分，“较好”评为80分，“一般”评为60分。对于“费用适中”这一标准，小明认为不到150元可评为100分，160元评为90分，170元和180元分别评为80分和70分。而对于时间，以“大约一周”为标准，7天评为100分，6天和8天都评为90分，9天和5天都评为70分。这种评分的方法当然与旅游者个人的主观意愿有关。于是，我们得到如下的评估表：

接下去就要进行综合，也就是说，对于每个旅游点来说，要把它在各因素上的评分综合成一个分数。注意，权衡各因素的重要性程度是不一样的，因此必须先求出各因素的“权重”，然后才能对各个因素的得分作加权综合。

为了求得各因素的权重，我们介绍美国匹兹堡大学教授萨悌（L.A.Saaty）提出的通过两两比较来确定权重的方法。

设有n个因素y₁，…y_n，对于每个因素y_i，相应地有一个权重w_i。这里，w_i＞0（i=1，…，n），且w₁+…+w_n=1。现在我们的目的是要求出w₁+…+w_n。

每次取两个因素y_i和y_j，用a_ij表示y_i的重要性与y_j的重要性相比较而得的数，采用下面的表来估值：

如果在评估过程中吃不准两个相邻等级的哪一级，则可以取中间的值，即a_ij取2，4，6，8四个数中的一个。例如，对因素y₁（景色）和y₂（费用）作比较，旅游者认为景色和费用都重要，但吃不准两者相比是同等重要呢，还是景色比费用更重要些，此时就取a₁₂=2。

a_ij表示y_i的权重与y_j的权重之比（称为“权重比”）的估计值，即$\frac{{{w_i}}}{{{w_j}}}$的估值。它是评估者通过比较得到的。由于是a_ij是$\frac{{{w_j}}}{{{w_i}}}$的估值，因此a_ij应是a_ij的倒数，即${a_{ij}} = \frac{1}{{{a_{ij}}}}$。显然，a_ij＞0，且a_ij=1。

权重之比的估计值通常用矩阵A=（a_ij）_n×n表示：

这个矩阵称为“比较矩阵”，它是通过各因素作两两比较后得到的。

在上述旅行问题中，小明对四个因素y₁，y₂，y₃，y₄作两两比较后得到如下的比较矩阵：

一般说来，n个因素y₁，…，y_n的权重比矩阵M如下所示：

比较矩阵A是权重比矩阵M的估计矩阵，就是说可以把A近似地看成是M。而我们就是想要通过A来得出各个权重w₁+…+w_n的估计值。

计算M的每一行各元素的几何平均值。一般说来，把M的第i行的几何平均值记作g_i，有

${g_i} = \root n \of {\frac{{{w_i}}}{{{w_1}}}\frac{{{w_i}}}{{{w_2}}} \cdots \frac{{{w_i}}}{{{w_n}}}} = \frac{{{w_i}}}{{\root n \of {{w_1}{w_2} \cdots {w_n}} }}i = 1，\cdots ，n$。

进一步有

$\eqalign{ & {g_1} + {g_2} + \cdots + {g_n} = \frac{{{w_1}}}{{\root n \of {{w_1} \cdots {w_n}} }} + \frac{{{w_2}}}{{\root n \of {{w_1} \cdots {w_n}} }} + \cdots + \frac{{{w_n}}}{{\root n \of {{w_1} \cdots {w_n}} }} \cr & = \frac{1}{{\root n \of {{w_1} \cdots {w_n}} }}\left( {{w_1} + {w_2} + \cdots + {w_n}} \right) \cr & = \frac{1}{{\root n \of {{w_1} \cdots {w_n}} }} \cr} $

于是，

${w_i} = \root n \of {{w_1} \cdots {w_n}} \cdot {g_i} = \frac{{{g_i}}}{{{g_1} + {g_2} + \cdots + {g_n}}}i = 1，2，\cdots ，n$。

如果我们能知道g₁，g₂，…，g_n的估计值，就可以借用上面的公式来求出权重w₁+…+w_n的估计值。现在，我们把比较矩阵A的第i行各元素的几何平均值g＇_i作为g_i，的估计值，即

$g_i^＇ = \root n \of {{a_{i1}}{a_{i2}} \cdots {a_{in}}} i = 1，\cdots，n$。

进而，再求出

$w_i^＇ = \root n \of {g_1^＇ + g_2^＇+ \cdots + g_n^＇} i = 1, \cdots n$。

于是我们就得到了权重w₁+…+w_n的估计值w′₁+…+w′_n。

在旅游问题中，小明通过计算得出：

$g_1^＇ = \root 4 \of {1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7} = 2.893，g_2^＇ = \root n \of {\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4} = 1.565$，

$g_3^＇ = \root 4 \of {\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2} = 0.604，g_4^＇ = \root 4 \of {\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1} = 0.366$。

$\sum {g_t^＇ = } g_1^＇ + g_2^＇ + g_3^＇ + g_4^＇ = 5.428$。

$w_1^＇= \frac{{g_1^＇}}{{\sum {g_t^＇} }} = \frac{{2.893}}{{5.428}} = 0.533$，

$w_2^＇ = \frac{{g_2^＇}}{{\sum {g_t^＇} }} = \frac{{1.565}}{{5.428}} = 0.288$，

$w_3^＇= \frac{{g_3^＇}}{{\sum {g_t^＇} }} = \frac{{0.604}}{{5.428}} = 0.111$，

$w_4^＇= \frac{{g_4^＇}}{{\sum {g_t^＇} }} = \frac{{0.366}}{{5.428}} = 0.068$。

最后，根据评估表中每个旅游点x_i对各个因素的得分乘以该因素的权重估值再求和，就得到每个旅游点综合评估的得分

${c_1} = w_1^＇ \times 90 + w_2^＇ \times 90 + w_3^＇ \times 90 + w_4^＇ \times 90 = 90$；

${c_2} = w_1^＇ \times 100 + w_2^＇ \times 70 + w_3^＇ \times 70 + w_4^＇ \times 80 = 86.67$；

${c_3} = w_1^＇ \times 80 + w_2^＇ \times 100 + w_3^＇ \times 90 + w_4^＇\times 60 = 85.51$；

${c_4} = w_1^＇ \times 90 + w_2^＇ \times 80 + w_3^＇ \times 100 + w_4^＇\times 80 = 87.55$；

${c_5} = w_1^＇ \times 60 + w_2^＇ \times 100 + w_3^＇ \times 70 + w_4^＇ \times 60 = 72.63$；

将各个综合分C₁，…，C₅相比较，以C₁=90（分）为最大，因此，小明选择了旅游点x₁。

在现实生活中，需要作综合评估的问题很多，例如评选三好学生，购买满意的商品，在各方案中选择最佳方案等等。这些都可以仿照解决旅游问题的方法，加以综合评估。