怎样排循环赛的程序表

学校决定在高一、高二两个年级开展一次班级之间的篮球比赛，要求每一个队在每一轮比赛中都有不同的对手。怎样排出这种循环赛的程序表呢？

假如共有八个队参加比赛，用x表示球队的编号，r表示比赛的轮数，那么每一个队都要进行七轮比赛，即：

x∈{1，2，…，8}，r∈{1，2，…，7}。

下面就是一张八个队的比赛程序表，在第r行、第x列处的数字，表示x队在第r轮比赛中的对手。

这张表是怎样排出来的呢？

要排出这张表，就要求出在每一轮比赛中每一个队各自的对手。我们可以这样做：设在第r轮比赛中x队的对手为y队，由于每一个队要与其他七个队都比赛一次，共七轮，因此只要取能满足x+y被7除余数为r的y值就行了。

先看第一轮比赛（r=1，x+y=8），

当x=1时，y=7，即第一队的对手是第七队。

当x=2时，y=6，即第二队的对手是第六队。

当x=3时，y=5，即第三队的对手是第五队。

当x=4时，可取y=4，但是这意味着第四队将与自己比赛，这当然是不行的。为此，在这种情况下，我们规定第四队与最后一队即第八队比赛，于是表中第一行排好了。

再看第二轮比赛（r=2，x+y=9），

当x=1时，y=8；

当x=2时，y=7；

当x=3时，y=6；

当x=4时，y=5。这样，表中第二行也排好了。

第三轮比赛（r=3，x+y=10）：

当x=1时，由于y的数值等于9，无此队，因而可改取y=2，x+y=3；

当x=2时，由上已知第二队的对手是第一队；

当x=3时，y=7；

当x=4时，y=7；

当x=5时，y=5，此时我们仍可按规定取第五队的对手为最后一队即第八队。这样表中第三行排好了。

用同样的方法，可排出其余四行。

在上述排表过程中，我们应用了“同余”的有关数学知识。所谓同余，是指两个整数a、b被另一正整数m去除，有相同的余数，通常用符号

a≡b（modm）

表示，读作“a，b关于m模余”。例如34与12被11除余数都是1，就称“34与12关于模11同余”，记作

34≡12（mod11）。

一般地，要排出有N个队参加的循环比赛程序表，只需在第r（r=1，2，…，N-1）轮中取能满足

x+y≡r（modN-1）

的y值，就是x队的对手。

同余的概念早在公元5世纪，我国的《孙子算经》中已经可见，在日常生活中经常会遇到。比如，某月2日是星期三，那么9日，16日，…都是星期三，它们关于模7同余。