为什么鱼在水中总是交替地向上游动与向下滑行

仔细观察鱼在湖中游动的情况，你将会发现，鱼在水中总是交替地向上游动与向下滑行的。即使要从A到达同一水平的B，一般也不是水平地游过去，而是先向上游动到C，然后向下滑行到B（如下页图所示）。这是鱼为了减少能量的消耗而采取的最优策略。

为什么这样游可以减少能量的消耗呢？我们讨论最简单的情况，即假定鱼企图保持常速v移动时的情况。令D是以此速度滑行时鱼所受的阻力，而游动的鱼所受的阻力是滑行时的k倍，即kD。又令W为鱼在水中的净重，α是向下滑行的角度，β是向上游动的角度（如图）。

力学告诉我们，鱼向下滑行时所受到的阻力，等于鱼在水中的净重W在运动方向上的分力，即

D=Wsinα；

而鱼向上游动所需的力，等于鱼游动时所受阻力与W在运动方向上分力之和，即

kD+Wsinβ=W（ksinα+sinβ）。

当鱼作水平游动时，W在运动方向上的分力为零，游动所需要的力为

kD=Wksinα。

滑行时显然不用力。因此鱼由A游动到C，再由C滑行到B的锯齿游法，与由A水平游到B的水平游法的能量消耗之比，为所花力与移动距离的乘积的比，即

$P = \frac{{W\left( {k\sin \alpha + \sin \beta } \right) \cdot AC}}{{Wk\sin \alpha \cdot AB}}$。（1）

由图可知：

AB=AC·cosβ+CD·ctgα

=AC·cosβ+AC·sinβctgα

=AC·（cosβ+sinβctgα）。（2）

将（2）式代入（1）式，得

$\eqalign{ & P = \frac{{k\sin \alpha + \sin \beta }}{{k\sin \alpha \left( {\cos \beta + \sin \beta {\text{ctg}}\alpha } \right)}} \cr & = \frac{{k\sin \alpha + \sin \beta }}{{k\left( {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } \right)}} \cr & = \frac{{k\sin \alpha + \sin \beta }}{{k\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}} \cr} $。（3）

根据观察与经验，鱼通常滑行角度为α=11°20′；鱼游动时阻力一般是滑行时的3倍左右。如果取k=3，则代入（3）式后得

$P = \frac{{0.588 + \sin \beta }}{{3\sin \left( {11^\circ 20' + \beta } \right)}}$。（4）

由（4）式可以看出：在$11^\circ 20′ + \beta ＜\frac{\pi }{2}$，即β＜78°40′时，P＜1，即据齿形游法比水平游法少消耗能量。特别当β取最优值59°15′时，P=0.51，此时银齿形游法的能量消耗仅是水平游法的一半左右。怪不得鱼要选择银齿形游法了。